I.2.3. . .i. a'' rfj
lorsque i est infiniment grand, cette expression fort simple
Fy/M.N'
dans laquelle X est le nombre des termes de la fonction y (a?), et où ji, v. 7i,... sont des nombres quelconques positifs, tels que
et
Ainsi cette quantité sera infinie ou nulle, suivant que N aura une valeur. soit positive ou négative, plus grande que l'unité, ou non.
D'où il est aisé de conclure que la série qui représentera la valeur de
ty(-\ (37), sera convergente si l'on a, abstraction faite du signe,
N = ou < i;
autrement elle sera divergente.
Or, comme la quantité N dépend seulement des coefficients A. B, C,... et des exposants a, b, c,... qui entrent dans l'expression de la fonction
f I x), et nullement de ceux qui appartiennent à la l'onction ^ (oc), et qui sont F,/,..., il s'ensuit que si la série qui exprime la valeur d'une fonction quelconque de — est convergente, elle le sera aussi pour toute autre
fonction de — •
42. Au reste, il est hou de remarquer que, quoique les coefficients A, B, C,... puissent être positifs ou négatifs, ainsi que la quantité «; cependant, comme il ne s'agit ici que de la valeur absolue de la quantité '37
(„+/)... („+/-; + 2)FAaBit(>
il est indifférent de les prendre positivement ou négativement; ainsi, pour éviter les imaginaires dans la valeur de N. nous supposerons que les coefficients A, B, C,... soient pris positivement, à cause que (x, v, -,... doivent être positifs par leur nature, et à l'égard de a nous supposerons qu'il soit pris en sorte que - soit positif; par ce moyen, quels
que soient les nombres u, v, 7r,..., u, la valeur de N sera toujours sous nue forme réelle.
13. Supposons que la fonction f (x) ne renferme qu'un seul terme A.r", en sorte que l'équation soit
dans ce cas on aura
et
donc
\r 'il)
donc la série sera convergente si l'on ;•
(Ml
il y u I
<i8 MÉTHODE POUtt RÉSOUDRE LES ÉQUATIONS
Ce cas est celui du Problème II, § III; or, dans la première Solution, on a
d'abord
donc la première série de cette Solution, c'est-à-dire celle qui se rapporte à la première racine, sera convergente si l'on a
ou<ip'-1>T'
n L an
c'est-à-dire (abstraction faite des signes \
ou <
en prenant a, b et c positivement.
Soit n = 2, on aura cette condition
ac i
c'est-à-dire b2 = ou >4«c; or, c'est précisément la condition qui rend convergente la série provenant du développement du radical \b2 — l\ac, et qui est la même que celle que nous avons trouvée par notremétbode(9). Dans la seconde série de la même Solution, on a, en comparant l'équation
b n 7TT7,
à la formule générale ci-dessus,
donc la condition de la convergence de cette série sera abstraction tàite des signes
- = ou
(3ii bien
ca"-' ^ { n — i )"-'
— — = ou << — ■>
qui est la même condition que la précédente.
Dans la seconde Solution on aura, en comparant l'équation
a ht
à la même formule générale,
a = 1 A — - et a = - ;
ce n
d'où la condition de la convergence des séries de cette Solution sera, abstraction faite des signes,
- = ou < n\ »
laquelle se réduit à celle-ci
ca"-' (/i—i )"-'
= ou >
(jiii est l'opposée de celle que nous avons trouvée pour la première Solution.
Donc :
i° Si dans l'équation
a — bx -+- ex" = o,
on ;t abstraction faite des signes de a, b, c)
il faudra employer la première Solution du Problème II, laquelle donnera toujours «1rs séries convergentes, el par conséquent vraies pour toutes
les racines; de sorte que ces racines seront réelles ou imaginaires, suivant que les séries qui les représentent le seront.
Donc (33) l'-equation proposée aura dans ce cas autant de racines réelles et autant d'imaginaires qu'il y en aura de telles dans les équations qu'on pourra faire en combinant ensemble deux termes consécutifs de cette équation, et les égalant à zéro; c'est-à-dire dans les équations
a — bx = o et b — ex"' ' = o,
d'où l'on voit qu'il y en aura toujours au moins une de réelle.
2° Si l'on a
