VIII

Nous avons supposé jusqu'ici que la courbure du ressort devait être très-petite; voyons maintenant comment on peut résoudre le Problème, en général, quelle que puisse être la figure de la lame élastique. Or, comme les équations trouvées dans le § II sont absolument inintégrables, il est impossible de déterminer les forces P et Q en /, a et b, ou bien les forces R et T en /, r et a (§ IV) par des équations finies; mais peut-être pourrait-on les déterminer par des équations différentielles qui donneraient les variations de T et de R répondantes à celles de r et oc; c'est ce qu'il est bon d'examiner.

Reprenons donc les trois équations du § II, et, mettant d'abord à la

place de P et Q les valeurs trouvées dans le § IV, elles se changeront en

celles-ci

Kdo

ds -

y p ycos (q -t- x

— m) — cos (q + x -

dy =

Ksino do

sjpsjcos (q + x

— m) — cos {q + x -

- m -+- cp)

dx =

K coscprfcp

\jP v'cos [q -+- oc — m) -— cos (q ■+■ a — m + cp)

La seconde de ces équations étant multipliée par sin [q -l- a — m .j et ensuite retranchée de la troisième multipliée par cos (q -h oc — m), on aura

cos [q -+- x — m) dx — sin (q -+- x — m <li K cos ( q ■+■ a — m -+- cp) r/-r

v'/> vcos [(i ■+■ a — m) — cos [q -\- a. — m -h <f) De même, en multipliant la seconde par cos {q -+- a — m) et l'ajoutant à

la troisième multipliée par sin (q -h a — m), on aura

cos [q -+- a. — m) df -+- sin (q -+■ a — m I dx K sin (g + a — m-\- <p) do

yfj y 'cos q ->- x — m) — cos g + a — m 7I- <p)

équation qui est absolument intégrable et dont l'intégrale, prise en sorte que x et v s'évanouissent lorsque <p = o, est celle-ci

/cos [q + a. — m) -{- x sm [q -T- a. — m)

k ^ cos q -+- a — m ) — cos ( g -+- a — m -f- < Ainsi il faudra combiner cette équation avec ces deux-ci

v j> t / v cos g -4- a — m) — cos (ç + a — m + f)

A' cos (7 H- a — m — y sin ( q -t- a — w

K /* cos (g -r- a — />/ - ip) dy

s, /> , ' v cos i q -h x — m) — cos (g -+• a — m + tp

Soit, pour abréger, q- v m--n, et supposons que les intégrales

/d'j (* cos (»■+•©) t/qj

et -== y/COStt — cos [n-\- <p J v cos» — cos » H O

prises en sorte qu'elles soient nulles lorsque y o, deviennent A et H lorsque p = m, el l'on aura, en Faisant r = a, y — b, s = le\ f -/w, ces tiois équations

/; Cos 7 • a m ii -.in y y. — in | ^COS '/ -+- z — /» COS 7 * «),

•~- [rt COS 7 I ;< />' 6 sin 7 • » — m)] : B,

• i);m~ le texte primitif, le (acteur a se trouve placé au dénominateur de cette Formule;

l'inadvertance coi iae ici par I illustre Auteur a pour effet il altérer les résultats qui suivent

Nous avons cru devoir rairé les rectifications nécessaires pour l'exactitude des formules.

Vote de VÊditciu

ou bien, en substituant pour a et h les valeurs du § IV,

-~- coso = B, K *

r\lp ■ i ; ; -, s

— \£- sinq = y/cos ((/ -i- a — m) — cos (q ■+- a).

Maintenant, puisque l'on a

do

J \/cosn

cos ( » 4- ç> ) cos (» + 9) </o

y/cosra — cos (n + 9) si l'on fait varier dans ces expressions tant 9 que /*, on aura

dk

do sinndn P do

J [cos«

v/cos«-cos(/z + 9) 2 J [Cosn- cos (» + ?)]'

dn /* sin (» -+- 9) tfç J [cosn

cos (n + 9)]2

cos («4- (f)dcfi sinndn r cos (n-t- o) do