VII
Prenons maintenant dans la tangente CT un point quelconque C [fig. 4) et, ayant tiré la ligne CAR', réduisons les forces P et Q, qui
Fig.4.
agissent au point A (§ 11), à deux autres R' et T, dont l'une R lire sui-
vant la direction AR' et l'autre T suivant la direction AT' perpendiculaire à AR'; il est facile de trouver par une méthode semblable à celle du § IV que, si l'on nomme a l'angle AC'T, et qu'on fasse
R'=y/cos</', T=p'sinq', on aura
P p' cos(q' ■+- a' — m ,
Q—p' sin((/' + oc' — m . i.
Soient, de plus, la ligne AC = r' et la ligne donnée CC = h, on aura d'abord
VC = r = v7/2-f- r'2+ 2Ar'cosa'
et
,, , . r'sina'
sina:sina r . r, d ou sina: = — ;
ainsi, ayant /et a en r' et «', on aura aussi a et 6 en r et «', en substituant les valeurs de ret a dans les formules du § IV,
a = r cos{m — a), b=rs\n(m oc).
Or, comme les angles a et m sont supposés très-petits de l'ordre de la force Q, il est clair que les trois angles ex' , q et m seront tous très-petits du même ordre; ainsi l'on aura à tirs-peu près
, f {& A- oc' — m)Jl , .
P =p'\ i il — - , Q = />' {q' -f- «' - m),
et de là
. . /ir'a" (A + r'W r' oc' a~ h -+- r' - —r : [m — t ;
De sorte qu'en faisant ces substitutions dans les équations du § III, et
supposant, comme plus liant,
on aura
I H j— ; = COSw',
q' -h a — m (h + r' ) m — r'a! , , , /sinw' \
A -+• r' T /</-'g'2 + [m(A + /-') — rV]2 1 ~~ i ~ 2(/i + r')2
(q' -+- a! — m)2 /sin2 0)' 2 sinw' 3
Supposons maintenant h -t- r' = l, et les équations précédentes deviendront celles-ci
cosm',
, . /sin«' \
h r' oc'2 -\- (ml — r'a! Y , , , , /sin2w' 2 sinw' 3
Les deux premières donnent d'abord
Im — r' ex
a!' I w'cosw' — sinw' ' r
, — 1 i w' cosw' + sinw'
a w cosw — sinw
et ces valeurs étant substituées darîs la troisième, on aura, à cause de
, , , M, w'sin2w' , . , 3m'!
(w' cosw' — sinw r -1 -. 2w sinw H
/ (w' cosw' — sinw )2 — ^sin w' — w')2
Ainsi, dans ce cas, l'angle, w' sera donné par |a seule quantité y» et
par conséquent la quantité —, deviendra aussi une fonction de -j\ et
aK2w'2 comme p = ^ — 5 il s'ensuit que la force T", qui est à très-peu près
égale à/> q', sera toujours exprimée par une fonction donnée de j multipliée par -y2-
Donc, si l'on a une lame élastique ABC, fixée en C [fig- 5), et dont la position naturelle et libre soit la droite CA', et que l'extrémité A' de cette
Fig. 5.
hune soit forcée de décrire autour du point C, pris dans la droite CA', l'arc très-petit A' A, en sorte qu'elle vienne dans la situation ABC, on fera CA' = /, A'C = r', A'C'A = a, et l'on trouvera par les formules précédentes les deux forces p et p q' que la lame, dans l'état forcé ABC, exercera a l'extrémité A, la première de ces forces agissant suivant la direction du rayon AC, et la seconde suivant celle de la tangente en A. Et comme on a ici / et r' constants pendant que a varie, il s'ensuit que b) sera constant aussi, et qu'ainsi la force tangentielle T sera toujours proportionnelle a l'arc AA'; d'où il s'ensuit que si un corps était attaché à l'extrémité A, ce corps ferait autour du point A' des oscillations isochrones, dont on pourra déterminer la durée par les équations ci-dessus. On pourrait se servir utilement de cette propriété des lames élastiques dans les balanciers des montres si l'on voulait se contenter de leur faire
Fig. 6.
faire des oscillations très-petites; c;ir, supposant [fig. 6 (pie A'FGH
soil le balancier dont C soit le centre, il n'y aura qu'à fixer une lame élastique d'une longueur quelconque A'C, d'un côté à un point fixe C et de l'autre au point A' de la circonférence du balancier, et l'on sera assuré que ses vibrations seront isochrones, au moins tant qu'elles seront trèspetites, ce que personne, que je sache, n'avait encore démontré en toute rigueur. ( Voyez le XXXVIe Mémoire des Opuscules de M. d'Alembert.)
