L'ÉLIMINATION DES INCONNUES

Mémoires de l'Académie royale des Sciences et Belles- Lettres de Berlin, t. XXV, 1771.)

Lorsqu'on a deux équations qui renferment la même inconnue élevée à des degrés quelconques, on peut toujours, par les règles ordinaires de l'Algèbre, éliminer cette inconnue; mais on risque de tomber dans un inconvénient : c'est que l'équation résultante de l'élimination moule à un degré plus élevé qu'elle ne doit. Plusieurs habiles Géomètres ont senti cet inconvénient et ont donne des moyens de l'éviter; c'est ce que MM. Euler, Cramer, Bezout et d'autres ont fait par des méthodes qui leur sont propres, et qu'on peut voie dans les Mémoires de celle Académie pour les années i 7 18 et 1764, dans ceux de l'Académie des Sciences de Paris pour l'année 17'i'i. dans l'Ouvrage de M. Cramer qui a pour titre : Introduction u l'analyse des lignes courbes, et ailleurs.

La méthode que je vais exposer ici a l'avantage de réduire l'élimination des inconnues a des formules générales et très-simples dont les Analystes pourront faire usage au besoin.

' Lu .1 1 académie le ag octobre i;<>7.

U2 SLR L'ÉLIMINATION DES INCONM KS

Soient

'A i -+- A.r -f- Bx- -+- Cx!4- Dt' + . . . = o,

les deux équations proposées, dont la première soit d'un degré quelconque m, et la seconde aussi d'un degré quelconque n. Il est évident que quelles que soient les équations données elles peuvent toujours se mettre sous les deux formes précédentes; car pour cela il n'y a qu'a les diviser, l'une par le coefficient tout connu du dernier terme, et l'autre par la plus haute puissance de l'inconnue.

Je suppose que i — a.r, s — [Ix, i— yx, i-oa1,... soient les fae-

leurs de I équation (A), en sorte que --, y, -> -?••■ soient les racines

de cette équation; j'aurai donc

i -(- \x -f- Bx2 -\- Cx' -+- ])xi +. . .= (i — xx)(i — (3ar)(i — yx){i — ix). . .,

et, prenant les logarithmes de part et d'autre.

log( i -+- kx -4- Bx! -+- Cx3 -+- D.rs + . • .)

= log , i — 7.x -f- log( i — fix ) -+- log ! i — y x -+- log i — èx ; -+- . . .

Or on sait que

log(l+.Z) = z — — + — — -r-h

donc on aura aussi

x A -h B.r -4- C x1 -f- Dx3 + . . . ) > , — x , x + "p — y -+- o -+-

nçl II jq-

(A+B^ + Ci-' + Dx, + ...f 1 ( a2 -f- p- ■+- y- -+- o2 -+-

-+- y ! A- + Bx ■+" (-'jr'' -t- Dxl + . . . ,; i i — — a" 4- (3 ' + y ! -h <r +

DANS LES ÉQUATIONS. Ii3

On sait de plus que le carré, le cube, etc., de toul polynôme, tri que A-hBa? -4- Cas2 -+- . . ., est aussi un polynôme de la même forme, mais dont le nombre des termes est double, triple, etc., de sorte qu'on peut supposer

A -4- B.r ■+- C.r- 4-Dx3 + . . . 2 A' + B' x + C ** + l)'x3-f-

A + B.r -4- Cx2 ■- Dx3 + . . . » = A"+ B".r + C"x2 h- D".r" -4-

et ainsi de suite, les coefficients A', B', Ci ... , A", B", C", . . . étant aises à trouver par la formation actuelle de ces puissances ou par d'antres moyens que nous indiquerons dans la suite.

Donc, si l'on substitue ces valeurs et qu'on lasse, pour abréger,

on aura, en ordonnant les termes par rapport aux dimensions de x

IVr + Q.r2 -+- Bx3 4- Sx' + ... , d'où l'on tire, a cause que l'équation doit être identique,

Cela posé, je substitue successivement dans l'équation H les valeurs

t\f 1 résultant de l'équation A . savoir , .... ilnni le nombre