I III

|, -^- Qw + 1

ii + m)2J 21 + ni r

S"' [ ii T"

+ nï\ i H —

r »' i v* sr

( i + m)6J 2» i + ni -

Les valeurs des coefficients K', K", K",... dépendent, comme on voit, de l'excentricité n et du rapport i : m du grand axe au petil axe de l'ellipse; or, si l'on suppose l'excentricité fort petite, ce qui est nécessaire pour que les séries soient convergentes, et qu'on veuille que les valeurs des coefficients soient exprimées par des séries ordonnées suivant les puissances de n, il faudra mettre à la place de m sa valeur v • —n,3 el développer ensuite ce radical suivant les méthodes ordinaires; donc, comme les expressions des coefficients dont il s'agit ne renferment d'autres

fonctions de m que les puissances de , il est bon de voir comment

il faut s'y prendre pour réduire facilement en série chacune des puissances de

Qu'on demande donc, en général, la valeur de : il est facile de

voir que cette valeur sera la même que celle de Z' que nous avons donnée dans l'Article IX, en y faisant seulement z = i , ce qui rend

ainsi l'on aura sur-le-champ

de sorte qu'en faisant successivement r= i , 2, 3,..., et supposant, pour plus de simplicité, - = v, on aura

1 1 / 4</ 5.(i.vB 6.7.<S.v8

i+ra 2 \ 2 ?.. 3 2.3.4

1 / , 3.6. v* 3.7.8.vB 3.8.Q.IO.V8

H-m)4 ib \ 2 2.3 2.3.4

Ainsi il n'y aura qu'à substituer ces valeurs dans les expressions de K . K", K"',..., et après avoir l'ait les multiplications nécessaires, on pourra facilement ordonner les termes par rapport aux puissances de n.

Il esl clair que la méthode employée dans ce Mémoire peul servir aussi a résoudre avec facilité les équations de la forme

/ x - a sinnia 4- l> cosmx -+- c sin /i.r -\-fcosnx 4 ■ . . . .

ou de celle-ci

i x -< <k-"" 4- /"-"' 4- ceP* -+- . . .

lorsque les coefficients a, b, c,... sont fort petits , el d'autres équations semblables qu'on ne pourrait résoudre par les méthodes connues que

d'une manière indirecte el Ires-laltoi'ieuse.

Supposons, par exemple, qu'on demande la valeur de a en / pal

l'équation

nu fera, dans la formule générale de l'Article II,

et l'on aura

a1 de1'"' a3 dteimt x — t— ae"" -l

2 dt ■?. .3 dt:

c'est-à-dire,

ima1 , 3 -/«''a3 femïa*

x = I — ae"" H eiml =— e3"" + ? „ , e4"" — ... ;

donc, si l'on fait t = o, en sorte qu'il s'agisse de déterminer x par

l'équation

x h- ae"" = o,

on aura

/ 2 ma 1 3 ma)2 \ma 3 \

■x1 = — ai '

Ainsi, si l'on avait la série

■la. '3a)2 ! 4 a )3

et qu'on en demandât la somme, il faudrait tirer la valeur de x de l'équation x — e*x = o, et ce serait la somme cherchée.