SUR L'ÉLIMINATION DLS INCONNUES

Donc, ajoutant ensemble toutes ces quantités, et mettant à la place de

* -h ]3 -+- 7 + ..., c/2 -h fi- -f- y2 -4-..., v* -+- fi:i + y3 -+-..., les quantités — P, - aQ, — }R,..., on aura

logll = — p? — 7.qQ— 3rR —

Soil encore, pour abréger,

(p = pV -h 2</Q -+- 3rR -+-..., et l'on aura

logH = — <p, d'où n = e~r,

et résolvant en série la quantité exponentielle e~ p, il viendra enfin

Ainsi le Problème est résolu.

domine la quantité n est le produit de m facteurs tels que

[ + aà + Aa!+t,ij£3 + ...) i + aj3 + 6(32 + c(3:i + ..., n-«y + A y- -t- cy'-t- ...,

il est visible qu'elle ne peut contenir d'autres produits des quantités a, /->, c,... que ceux dont les dimensions ne passent pas le nombre m; d'où il s'ensuit :

i° Que l'équation tl =o, ou bien

ne doit contenir aucun terme dans lequel les quantités a, 6, c,... tonnent ensemble des produits de plus de m dimensions.

Or, si l'on met au lieu de x dans les équations B et A , elles deviennent celles ci

i -+■ ax -4- bxl -+- cxz -+- dx* ■+■ . . . = o, A B C D

X JT- JT3 .T4

lesquelles ne diffèrent des équations (A) el (B) (ju'en ce que les coefficients A, B, C,... sont changés en a, b, c,... et l'exposant m en n, et vice versa; doue, si l'on t'ait sur ces équations les mêmes raisonnements et les mêmes opérations que nous avons faites sur les équations (A et (B), on parviendra à une équation finale qui sera la même que l'équation (D) ci-dessus, à la seule différence près que c/, b, c,... seront au lieu de A, B, ('.,..., el réciproquement; et l'on prouvera de même, à l'égard de cette équation, que les quantités A, B, C,... ne sauraient formel- ensemble des produits de plus de n dimensions.

Or, en changeant A, B, C,... en a, b, c,..., on ne l'ail que changer P,

Q, B,... enp, q, r etvice versa, comme on le voit par les expressions

de ces quantités : donc comme

œ - pP-i-20Q-4-3rR + ...,

il s'ensuit que l'équation finale dont il s'agit sera exactement la même (pie l'équation ^D^; d'où je conclus :

2" Que l'équation

I — co + -*- - -+- . . . ().

ne doit pas non plus contenir aucun terme où les quantités A. B, C,... se trouvent formant ensemble des produits de plus de n dimensions.

Voici donc à quoi se réduit notre méthode d'élimination. Étant proposées les équations

i -4- \ « Bj i < D ' ... o,

dont la première soit du degré m, et la seconde du degré /'. on commencera par former les quantités A . 15 , C, D \ . B", C". D" \ . M .

I . D lesquelles sont les coefficients des séries qui expriment le

IQ.