SUH L'ÉLIMINATION DES INCONNUES

carré, le cube, la quatrième puissance, etc., de la série

A -4- Rx -+- Cr2+Dxs + . . .,

cl l'on poussera cette opération jusqu'à la nième puissance. On formera ensuite de la même manière les quantités a', b', c', d',..., a", b", c", d",..., a", b'", c'", d'",... jusqu'à la puissance m; et pour cela il suffira de

changer, dans les valeurs correspondantes de A', B', C A", B", C"

les quantités A, B, C, D,... en a, b, c, d,

Avant ainsi toutes ces quantités, on les substituera dans la quanti le

et l'on fera ensuite l'équation

Cp2 m cp

en observant de rejeter tous les termes qui contiendraient des produits de A, B, C,... de plus de n dimensions, ou des produits de a, b, c,... de plus de m dimensions; on aura, par ce moyen, l'équation qui résulte de l'élimination de l'inconnue x dans les deux équations proposées.

A l'égard des coefficients A', B', C',..., A", B", C" on doit les déterminer à l'ordinaire par la formation des différentes puissances de A -+- lix -+- C#2-f-...; mais, comme le calcul des puissances fort hautes sciait assez laborieux, on peut l'abréger par la formule suivante, dont la démonstration se tire du calcul différentiel.

Soit, en général,

A -+- Bx -+- Cx2 + D.r3 + Ex* -+- . . . f = P -+- Q.r + Rjr; -H Sjt3 + J r + . . .,

on aura

D (« — i ;BQ + a»CP

n— ?. jBR -hi?.n— i)CQ + 3nDP

(»— 3) BS + 9.n— ?. ) CR + 3n — i ) DQ -+- 4/tEP

cl il est très-aisé de voir la loi de cette série, et de la continuer autant qu'on voudra.

Si l'on ne voulait pas faire dépendre les coefficients P, Q, R,... les nus des antres, on pourrait les déterminer immédiatement de la manière suivante.

Qu'on cherche, par exemple, le coefficient de r'" dans la puissance // du polynôme

\ 4- Bx + Cx' -+- Dr' + . . . , je dis :

i" Que ce coefficient sera formé de tous les termes qui peuvent être

représentés par ApB?CrD*..., p, q. r, s,... étant des nombres entiers

positifs, et tels que

p H- q -+- r -t-« -t- . . .= n el q -+- ar 4- 3* •+-. . . m ;

a0 Que chacun de ses termes aura pour coefficient numérique

La démonstration de ce théorème est aisée à tirer de la théorie des combinaisons, et nous ne croyons pas devoir nous \ arrêter.