AC2 4- 7 B2C 1 jac5 4- 7&sc 4- 5 8BC2x86c

Or, en rejetant les termes où A, B, C et a, b, c sont des produits de plus de deux dimensions, el ordonnant les autres par rapport aux dimensions de ces mêmes quantités, on aurait

\\a iCab b \ icAB

I \\\<ii, ■ m 1; . ,/, I, 5BC6< I I

d'où je lire, en ne conservant que les produits de in»is <m d'un moindre

[54 SUlt L'ÉLIMINATION DES INCONNUES, ETC.

nombre de dimensions,

cp2 — ( A a -+- 2 B b -h 3 C c 2

+ 2(Aa+ 2B6 + 3Cc) I - Ba2- 3Caà -6A2— 3cAB + -^- + 3 ABaft

+ (2AC + B2 lac + b2*-h 5BC&C ■+■ - C'C •4-2(Ba24- 3Ca&)(&A' + 3cAB , el

fz=(ka+ 2B6 + 3Cc)J,

cp4 = o,

(le sorte que l'équation sera

i-Afl-- >B — V)[ib — a*)

(3C - 3 AB + A3 ) ( 3c - 3ab ■+■ a5)

' r 4AC - 2B2 + 4A2B ) ( — 4ac — ai2 -4- 4«2i )

— - ( — 5BC -4- 5 A2C -4- 5AB2) ( — 56c + 5a2c 4- 5«/>-

1 3C2-f- 12 ABC + 2B3)(— 3c2 -4- i2a&c-4- ib" |

— - ( 7 AC2 -f- 7 B2 C ) ! 7 ac2 -4- 7 62c) — 8 BC2 6c2

-4-(Aa + 2B&4-3CC)[Aa+2B26 + 3CC-Ba2-3Ca6-f>A2-3CAB-h^-

-4- 3 ABai + (2AC + B2) (2«c4-/;;) -h 5BC6c -h - C2c2

+ (B«14- SCab)(bk'~i 3cAB) — -^(Aa + aBé + 3Cc » = o.

sim

LES TÀUTOCHRONES.

LES TAUTOCIIRONES.

Nouveaux Mémoires de l' (cadémie royale des Sciences et Belles-Lettres

de Berlin, année 177".)

Depuis Huygliens, qui le premier a trouvé que la cycloïde était la courbe laulochrone pour les corps pesants dans le vide, les Géomètres se sont appliqués à chercher des méthodes directes et générales pour déterminer les courbes qui jouissent de la même propriété dans des hypothèses quelconques de pesanteur et de résistance.

Les premières solutions analytiques qui aient paru de ce Problème sont, je crois, celles que MM. Jean Bernoulli et Euler ont données: le premier, dans les Mémoires de i Académie des Sciences de Paris, pour l'année 17^0, cl le second, dans le tome IV des anciens Commentaires de Pétersbourg. Ces solutions sont Coudées sur la considération des fonctions de dimension nulle de deux variables, et il faut avouer qu'elles sont

;nissi simples et aussi directes qu'on peut le désirer; mais comme ces solutions exigent qu'on ait l'expression de la vitesse, elles OUI l'inconvénient de ne pouvoir être applicables qu'aux cas où l'équation différentielle de la vitesse est intégrable. Pour suppléer a ce défaut, il fallait

trouver nue méthode qui fui indépendante de l'intégration de l'équation

qui donne la \itess,., ,•( ,'rsi à quoi M. Fontaine est parvenu par le moyen d'un calcul particulier qui consiste a taire varier les mêmes quantités de

deux manières différentes, et qui a quelque rapport à celui dont les Géomètres du siècle passé se sont servis pour résoudre les Problèmes des trajectoires et quelques autres du même genre.

La solution de M. Fontaine parut d'abord si satisfaisante, qu'on ne parla plus de tautochrones, comme cet Auteur le dit lui-même dans ses Œuvres imprimées en 1764, page t5; mais le Mémoire que je lus a l'Académie sur ce sujet, en / 767 (*), réveilla l'attention des Géomètres, et fit voir que la matière n'était pas encore si épuisée qu'on l'avait cru. Ayant envisagé la question des tautochrones sous un point de vue un peu différent de celui sous lequel on l'avait toujours considérée avant moi, je suis parvenu à une formule générale et très-simple, qui donne l'expression de la force nécessaire pour produire le tautochronisme, et qui renferme non-seulement tous les cas déjà connus, mais encore une infinité d'autres dans lesquels on ignorait que le Problème fût résoluble. Un grand Géomètre, à qui je communiquai cette formule, mais en supprimant l'analyse qui m'y avait conduit, la trouva assez importante pour mériter qu'il en cherchât la démonstration; et c'est ce qui a occasionné les savantes et ingénieuses recherches qu'il a faites sur la même matière et qui se trouvent dans nos Mémoires pour l'année 1 765 ; mais mon travail n'a pas été jugé si favorablement par M. Fontaine, qui vient de m'attaquer dans un Mémoire imprimé dans le volume de l'Académie des Sciences de Paris, pour l'année 1768. Je m'attendais, avec raison, a trouver dans ce Mémoire des objections solides et dignes du nom de cet illustre adversaire; mais j'ai été bien surpris de n'y trouver que quelques expression» peu obligeantes, sans aucune raison bonne ou mauvaise. Comme la simple lecture de son Mémoire et du mien peut suffire pour me mettre à couvert de ses critiques, je les passerai entièrement sous silence, et je me contenterai d'exposer dans ce Mémoire quelques réflexions que j'ai faites à cette occasion, tant sur ma solution de 1767 que sur la nouvelle solution de M. Fontaine de 1768. Je commencerai par donner la solution d'un Problème qui n'a pas encore été résolu, et qui sert à jeter un grand

'*) Œuvres de Lagrange, I. II. p. S\-

SUR LES TAUTOCHRONES. 15!»

jour sur celui des tautochrones ; je résoudrai ensuite ee dernier Problème dans toute sa généralité; du moins je donnerai les formules les plus générales qu'on puisse désirer sur cet objet; de là je passerai à examiner la solution que M. Fontaine donne pour générale, et je ferai voir qu'elle est incomplète, et même illusoire à certains égards.

Problème I.

Soit a l'espace total que peut parcourir un corps gui part d'un point donné avec une certaine vitesse, et qui est continuellement relardé dans sa marche par une force variable p; soient de plus x un espace quelconque parcouru pendant le temps t. a la vitesse du corps au bout de ce temps, et L une fonction quelconque donnée de x et de a : on demande par quelle fonction de u et de x doit être exprimée la force p, pour que le temps I soit égal à une fonction quelconque de L.

1. Un aura d'abord, par les principes de mécanique, l'équation

( A ) u du -+- p dx = o

qui est, comme on voit, une équation différentielle du premier ordre à deux variables x et u, p étant par l'hypothèse du Problème une fonction de x et u. Ainsi il y aura une fonction de x et //, que nous désignerons par R, par laquelle cette équation étant multipliée deviendra intégrable;

de sorte qu'on aura l'équation finie

R (udu -+- pdx) - const.

Pour déterminer celle constante, on remarquera que par l'hypothèse du Problème il faul que la vitesse u soil nulle au bout de l'espace a: (l'on il

s'ensuit que si l'on nomme A ce que devient la quantité / R udu -+- pdx

lorsqu'on y l'ail x = a cl u = o, on aura H; fli(udi< ■+- jx/x) \

Maintenant, comme le premier membre de celle équation est une loue-

lion finie de a et x sans a, et que le second est une fonction finie de a seul, il est clair que si l'on y fait varier à la fois les trois quantités a?, u et a, et qu'on suppose dA = Bda, on aura cette équation différentielle à trois variables (C) \{{i(</i( + pdx) = Bda,

•le sorte qu'en regardant u comme une fonction dé x cl a donnée par l'équation (B), on aura

du p du B

dx u da Ru

2. Cela posé, considérons le temps / que le corps met à parcourir l'espace .r; on aura, comme on sait,

' dx

r dx

où il faudra mettre à la place de u sa valeur en x et a donnée par l'équation (B), après quoi on intégrera en regardant a comme constante, ce qui donnera pour t une fonction de x et a. »

Supposons maintenant qu'on différence cette valeur de / en y faisanl varier à la fois x et a, et l'on aura, en regardant u comme une fonction

de x et a,

, dx . r i du ,

dl = da | — dx,

u J u1 da

ou bien, en substituant pour -j— sa valeur 77— ^ et niellant la quantité B

1 du Ru '

qui est une fonction de a seul hors du signe / 1

' u J Ru*

3. Or, L étant (hypothèse) une fonction donnée de x et a, on aura

r/L — Mdx -hNda,

et comme / doit être une fonction quelconque de L, on aura donc aussi L égale a une fonction quelconque de /, que nous désignerons par T;

SUR LES TAUTOCHRONES. 11)1

doue, différentiant et supposant dT = Sdt, on aura

Sdt = Mdx -hNda;

or, cette équation doit être identique avec l'équation (D); donc on aura, par la comparaison des termes affectés de dx et de da,

Mi N r dx

S -«' S -1V R^' et par conséquent

N Soil, pour abréger, ^ = X, et l'on aura, en divisant par u,

x rdx

et différentiant, dans l 'hypothèse de .r et u seuls variables et de a constante,

d'où l'on tire

u d X — X du * dx u2 Wu1

mais on a -t- = — — f 1 , donc

Cette quantité R est, comme on voit, une fonction de //. x et r/, parce que B est une fonction de <•/, X nue fonction de a et .r, et /> une fonction de x et //; or, r/ étant donné en a? et // par l'équation (B), on pourra réduire la quantité B à n'être qu'une fonction de x et //, et dans cet état ce scia le multiplicateur qui doit rendre intégrable la différentielle udu ■+■ pdx (1); on pourra donc substituer cette valeur de B dans l'é-

quation (C), et, comme cette équation n'est autre chose «pie la différentielle de l'équation finie H , il est clair qu'on pourra remettre dans B

la quantité <i a la plaie de sa \aleureii n el t : d'où il s'ensuit qu'on peut III. ?..

mettre immédiatement dans l'équation (C) l'expression de R trouvée cidessus, dans laquelle les trois quantités u, oc cl a entrent a la fois, ce qui donnera, en divisant les deux membres par B, cette équation différentielle à trois variables

u du -+■ vdx , r , -+- da — o,

par laquelle on pourra déterminer l'une de ces variables par les deux autres.

4. Soit, pour plus de simplicité, en sorte que l'équation précédente devienne

— du -+■ — dx h- da — o.

Or, pour que cette équation soit possible, il faut, comme on sait, qu'on ait cette condition

dB-

dli

dU-

r da

/■ da

Mais a ne peut être contenu que dans r, parce qu'on suppose que p soit une fonction de x et u seulement; donc on aura

donc

r da

dr da

u dr 7* ~dâ

r da r da

de sorte que l'équation de condition se réduira à celle-ci

du- dB-

dx du

SUN LES TAUTOCHRONES. 163

Il faudra donc que cette équation ait lieu en même temps que l'équation (E), sans cependant qu'il en résulte aucune nouvelle détermination entre les trois variables x, u et a. Or, c'est ce qui ne peut arriver que dans ces deux cas : i° si l'équation (F) est absolument identique; 2° si la même équation (F) est renfermée dans l'équation (E). Nous allons examiner ces cas l'un après l'autre.

5. Premier cas, où l'équation de condition est identique. — Dans ce cas. il faudra qu'en regardant a comme constante, la quantité - du -t- — dx soit une différentielle exacte d'une fonction de // et x, car la condition de l'intégrabilité de la différentielle -du-h — dx est

dli dt

dx du

qui est précisément la même que l'équation (F); donc, mettant au lieu

de p sa valeur en r, laquelle est — — -rr -^, il faudra que la différentielle

tidu t i u- d\\ ,

c'est-à-dire,

u' /du (/\ ; <l.r

soit intégrable; or, à cause que X est nue fonction de x el a sans u, et

que a v>\ regardé ici comme constante, il est clair que le terme - sera

intégrable de lui-même, de sorte qu'il faudra aussi que les termes res-

, iO (du il\ v . .

tant — ( ■ — -TT-J le soient; ce qui ne saurait être ;

ail elre a moins que ne 1 ;

soit une fonction de log« — logX OU bien de .

Oïl aura donc aussi égal à une fonction de . ' qu'on pourra dési-

gner par o l^-j; donc et par conséquent

i rfX

X dx

Or, comme la quantité a est traitée comme constante, elle pourra entrer

comme telle dans la fonction indéterminée <p (y- h mais, à cause que p

ne doit être qu'une fonction de u et de x, il faudra que a disparaisse de l'expression de p. Nous verrons plus bas comment on peut satisfaire à cette condition.

6. Second cas, où l'équation de condition n'est pas identique. — Ce cas aura lieu lorsque les deux équations (E) et (F) seront identiques l'une avec l'autre; donc, comme l'équation (F) est finie et que l'équation (E) contient les différentielles premières dx, du, da, il faudra que celle-là soit l'intéffrale de celle-ci.

Or l'équation de condition (F) se réduit à celle-ci

p dr

u du

r dp

u du

Donc si l'on fait, pour abréger,

dr dx

p dr u du

r dp u du

en soi'te qu'on ait </ = o, et qu'on différentie cette équation dans l'hypothèse de u, xeta variables, on aura

dq dx

qui devra être identique avec l'équation (E); or celle-ci donne

, p dx r da

du = — :

SUR LES TAUTOCHRONES. 105

donc, substituant cette valeur, on aura

(El. t *2.) dx+(^--%\ da = o,

\dx u du) \da u du)

équation qui devra être identique; de sorte qu'il faudra que les coefficients de dx et de du soient chacun égal à zéro en particulier, ce qui donnera ces deux équations-ci

dx u du

da u du

qui devront avoir lieu en même temps que l'équation I F).

Donc, supposant la fonction X connue en x et a, on pourra, par le moyen de ces trois équations, éliminer a, et il en restera deux qui ne contiendront que les variables finies x et u, avec la quantité p et ses différentielles

dp dp d'p d7p d-p

dx du dx2 dxdu du-

Ces deux équations devront donc être identiques chacune en particulier, de sorte qu'on pourra les différentier a volonté en prenant x ou // constante, comme on voudra. On pourra donc, par leur moyen, chasser la quantité /; et ses différentielles, et il restera une équation finie entre // et x qui devra aussi être identique. Ainsi, ayant trouvé celte dernière équation en x et en //, on verra si elle est identique, auquel cas le Problème sera résoluble, et l'on pourra avoir facilement la valeur de p en x et en //; mais si elle rie l'est pas, ce sera une marque que les deux équations (E) et (¥ j ne sauraient être identiques entre elles, et qu'ainsi le Problème ne pourra pas se résoudre dans cette hypothèse.

7. Corollaire I. ~ Considérons l'expression générale de /> que nous avons trouvée dans le premier cas, et supposons que le terme loul constant de la fonction f (- ) soit une fonction quelconque de <( que je dé-

signerai par -■> en sorte que les autres termes de la même fonction ren-

ferment chacun une puissance de u; il est clair que la valeur de p contiendra le terme

\ a X X dx J '

et qu'il n'y aura aucun autre terme que celui-ci qui renferme le carré u-. Donc, pour que l'expression dep ne renferme point la quantité a, il faudra que le coefficient

i i dX

aX X dx

ne la renferme pas non plus, et par conséquent qu'il soil une fonction de x sans a. Soit donc w cette fonction, en sorte que l'on ait

i i dX aX X dx

et intégrant dans l'hypothèse de a constante et de x variable, on aura

e-~^dxje^"lxdx

mais

jWx / ejW.r

est une fonction de x seulement; donc, dénotant par | cette fonction, on

aura

Substituant donc cette valeur dans l'expression de p, elle deviendra

" 1— t^"-\Tx\

Donc, il faudra que la fonction y(-y-) soit telle, que ayl-y-i ne contienne point a, mais qu'elle contienne seulement =-■ Prenant donc une

SUR LES TAUTOCHRONES. ÎCT

fonction quelconque de -ç telle que 9(7 )> et la mettant à la place de

»f y i on aura, en gênerai

T9(r) «rfçl M L~r~ ~ ! as J

8. Corollaire II. — Substituons maintenant cette valeur de p dans l'équation (Ej du n° 4, et l'on aura, à cause de X = -, l'équation

du d\

u £ dx da

dont l'intégrale est

. lu\ fdx Cda

Or, il faut qu'en taisant x — a on ail u o; donc, si l'on nomme K la valeur de <î> (F) lorsque w = o, valeur qui sera constante et indépendante de a, parce que <1> i-\ est censée ne pas contenir a, on aura, en

faisant x — a,

rdx Cda

d'où, à cause de da -. dx, il s'ensuit qu'on aura aussi

rrH — =0 et a = — t;

c'est-à-dire que a devra être une l'onction de a semblable à la fonction Ë de x, mais prise négativement.

!). Corollaire III. - Donc, si l'on prend pour v. une Ponction de a semblable à la fonction de x qui est dénotée par £, on aura

donc (3)

et par conséquent

donc

f/L = M ( dx — 3 — j — M £ ( -j

de sorte que M£ devra être une fonction de

rdx rda J T "J T'

et par conséquent L sera aussi une fonction de

rdx fda

ou liien une fonction de

\la '

et comme t est supposé une fonction quelconque de L, il s'ensuit que le temps / sera aussi une fonction quelconque de

d'où je conclus que le premier cas de la solution précédente ne peut avoir lieu que lorsque le temps / est supposé une fonction quelconque de dimension nulle de deux fonctions semblables, l'une i\v x et l'autre de a.

10. Corollaire IV. — Si le temps t n'est pas une fonction de oc et de a telle que nous venons de le dire, alors l'équation de condition q = o ne pourra pas être identique, et le Problème ne sera résoluble que lorsque

SUR LES TAUTOCHRONES. U>9

cette équation sera renfermée dans l'équation différentielle (Ej, ce qui donnera, comme nous l'avons vu (6), les deux équations finies

(/'/ EL il — o, *3. - - *2. = o. dx u du du u du

Substituons au lieu de r sa valeur oX -h u2 -j— (4 i, et comme X esl une

* dx '

fonction de a; et de a sans u, el que p en est une de x et de u sans a, on aura d'abord

in = \ii +

dx dx

dX d'X dx dx-

du du

d'où l'on trouvera

„ dp dX ( dp i

dx dx \ du j

tf'X ~dxT " '

ensuite

dq dx

dx2

dX d'p

dx dx du

rf'X /

dq du

d-j) d\ d2p dx du dx du1

dq da~

(IX dp da dx

d2\ 1 da dx '

Kf^W— »'

•/// ' ûfcc

«fifo

Ainsi l'on aura les trois équations

v '^/v d\ I dp v rf'X 2

^Âr (/x \ </« ' / dx*

/ x rf'/> rfX rf»£ rf'X j dp | '/ \

^ Sr* </.r " '/- tfô dx* \P " du I dx*

,\d/> (l\ d*£ il \

' * u d.) du da du (h '

,/\ dp >i'\ f dp \ </ \

da d> ' (l> ■ da du ' j dx*da

I (x '/x u I x £X- '/x - '' id%X\

' dx J u il i du <l i du dx7 j

(|iii devront être identiques entre elles. On traitera donc ces trois équations comme nous l'avons dit (6); mais il arrivera bien souvent qu'elles ne pourront pas avoir lieu à la fois, et alors la solution du Problème sera impossible.

11. Scolie. ■- On a suppose dans le Problème précèdent que le temps /, employé à parcourir l'espace x, devait être exprimé par une fonction quelconque de la quantité L, qui est une fonction donnée de a et de x; d'où il s'ensuit que le temps t sera constant lorsqu'il y aura entrer et a la relation donnée par l'équation L = const.

Ainsi l'on pourra résoudre le Problème suivant :

Trouver la loi de la force accélératrice nécessaire pour que le corj)s mette toujours le même temps à parcourir un espace quelconque qui ait une relation donnée avec l'espace total.

Problème II.

On demande l'expression générale de la force accélératrice nécessaire pour le tautochronisme.

12. En conservant les dénominations du Problème I, la question se réduit à trouver quelle fonction de u et de x on doit prendre pour/?, pour que l'expression de t soit telle qu'en y faisant x = a elle devienne indépendante de a. Donc, en regardant (comme on l'a fait dans le Problème précédent) t comme une fonction quelconque d'une fonction donnée L de x et a, il est clair que le Problème sera résolu dans toute sa généralité si l'on fait en sorte que L soit une fonction quelconque de x et de a telle que a disparaisse lorsqu'on fait x = a. Ainsi la quantité L ne sera pas donnée tout à fait; mais il faudra seulement qu'elle soit assujettie à la condition dont nous venons de parler. Or nous avons supposé (3)

e?L = M dx + N da ; donc, faisant x — a, on aura

- rfL = iM + N)rf«,

SUH LES TÀUTOCHRONES. 171

cl comme dans cette supposition on veut que la quantité L devienne indépendante de a, il faudra que l'on ait

donc on aura, en faisant x = a,

M = — N et \ = X = — i .

De sorte qu'on pourra prendre pourX toute fonction de jet de « telle qu'elle devienne égale à — i lorsqu'on y l'ait x = a.

Mais il faut remarquer que / doit être égal à zéro lorsque x = o (hypothèse); donc si, en faisant t = o, on !iT-K (3), il faudra aussi que L devienne égal à K lorsque x = o, de sorte qu'en supposant seulement .» infiniment petit on aura nécessairement

K étant une constante indépendante de o, C étant une fonction de <i et /// un nombre quelconque positif; donc on aura aussi, en différentiant,

dh = tnCx'" ' dx -+- .r'" - ,' do, • do

et par conséquent

». ,. m.i di] - X (/('.

M mCa , N '" , et X , :

do mL do

d'où l'on voit que la quantité X doit être telle qu'elle devienne égale à .rD lorsque a? es! infiniment petit, D étanl une constante quelconque.

Donc il faudra que X soit égal à zéro lorsque X = O, et que — - soil eu

même temps une quantité finie quelconque,

Voilà le* seules conditions auxquelles la fonction L doive être assujettie dans le cas du tautochronisme; à ces limita lions près, la fonction I, pourra donc cire regardée comme indéterminée, et la solution (\i\ Problème sera renfermée dans celle du Problème précèdent. Or nous avum vu que ce dernier Problème est résoluble dans deux cas. lorsque l'équa-

lion de condition (F) est identique et lorsqu'elle est renfermée clans l'équation différentielle (E); il en sera de même du Problème des tautochrones, de sorte qu'on aura ces deux solutions :

13. Première Solution. — En supposant l'équation de condition identique, nous avons trouvé pour/» l'expression générale (5 et 7 ,

p = iû et comme ou a dans ce cas ( 9)

a. étant une fonction de a semblable à la fonction Ej de x, il est clair qu'en faisant x = a on aura \ = a et par conséquent X = — i . Donc l'expression précédente de p sera toujours propre à produire le tautochronisme,

quelle que soit la fonction de -ç désignée par y ( -)? et quelle que soit

aussi la fonction Ë de x, pourvu que celle-ci soit telle qu'on ait £ = o

df et -P- égal à une quantité quelconque finie lorsque x — o 12). Cette

solution est la même que celle que j'ai donnée dans mon .Mémoire de i 7^7 (*), en la déduisant de la supposition que l'expression du temps soit une fonction quelconque de dimension nulle de deux fonctions semblables, l'une de a et l'autre de x. Cette supposition pouvait paraître alors trop limitée; mais, après ce que nous venons de démontrer, on voit qu'elle est aussi générale que la question le permet, au moins tant que l'équation de condition doit être identique, ce qui est le cas le plus naturel et en même temps le plus général.

14. Seconde Solution. — Si l'équation de condition n'est pas identique il faut voir si elle peut être renfermée dans l'équation différentielle même, auquel cas le Problème sera encore résoluble, autrement il ne le

(*) Œuvres de La grange, t. II, p. 317.

SUR LES TAUTOCHRONES. 173

sera pas. On aura donc, dans ce cas (6), les trois équations

dx u du

dq r dq da u du

c'est-à-dire (10j

v. dp dX I dp \ d2X , X-aW + ^\ud7l-I})+-d^U=z0>

yd'p dX d2p d'X I dp \ d3\

dx2 dx dx du dx2 \ du j dx%

(X d2p dX d2p d'X\

' \ u au dx dx au? dx2 j

,1 X dp d/2X / m dp n\ t d*X^ ,

<la dx dx da \ du ") dx2da

dX \ (X d2p dX d2p <I2X

/v UA \ / ,\ U p U J\ (I p (I \ \

\ dx I \u dudx d.i du2 dx2 J

De sorte qu'il faudra que la valeur de p en x et // soit telle qu'elle satisfasse à la fois à ces trois équations, en prenant pour X une fonction quelconque de x et de a telle que X = — i lorsque x = a, el que X = o,

dX et -j- soit égal à une quantité finie lorsque x — o.

Or, il est clair que la recherche de la valeur de/; par le moyen de ces trois équations sera très-difficile, et qu'ainsi la solution précédente peut être regardée connue plus curieuse qu'utile; mais elle peut être beaucoup simplifiée par la considération suivante.

15. Troisième Sou mon. -- La Solution précédente est fondée sur la supposition que l'équation de condition q = o soit identique avec l'équation différentielle (E); or, pour (piécette identité ait lieu, il faut que l'équation y = O exprime la même relation entre les trois quantités //. ./et a, qui est exprimée par l'équation différentielle (E). Donc, si l'on imagine qu'on tire de cette dernière équation la valeur de a en // et ce, el qu'on la substitue dans celle-ci, y = o, il faudra que l'équation qui en

résultera soit identique. Or on a flOj

xdp dX I dp \ d*X

dx dx \ du ' ) dx'

où p est supposé une fonction de x et u sans a, et X une fonction de x et a sans u\ ainsi il ne s'agira que de substituer dans la quantité X, et

dans ses différentielles -r— ? -7— - à la place de a sa valeur en z/ et x qm

est supposée donnée par l'équation (EJ; or, la quantité X étant indéterminée, on pourra la regarder d'abord comme une fonction de x et // sans a, et alors l'équation g = 0 devra être identique.