Il faudra seulement observer

i° Que la quantité X devra être égale à — 1 lorsque u = o, quel que soit x-, car il faut que X soit égal à — 1 lorsque x — a-, mais on a l'hypothèse) u = o lorsque x = a; donc il faudra que X soit égal à — 1 en y faisant x = a et w = o; et comme la quantité X regardée comme une fonction de u et x est supposée ne pas contenir a, il est clair que cette quantité ne pourra pas devenir égale à — 1 en faisant u = o et x = a, à moins qu'elle ne le devienne aussi quel que soit x.

2" Qu'en faisant x = o et u tout ce qu'on voudra, la quantité X devra

devenir nulle, et la quantité -, — -5— finie; car la quantité X regar-

1 dx u du '

dée comme une fonction de x et de a doit être de la forme D^r lorsque x est très-petit (12), D étant une fonction de a; donc, mettant à la place de a sa valeur en u et x, et faisant x nul, la quantité D deviendra une fonction de u: on aura donc, lorsque x est infiniment petit,

\ = Bx,

et différentiant

dX , dX , dB ,

—r- dx H 1— d U — u + x ,— du ,

dx du du

et mettant à la place de du sa valeur — -

dX p dX xp d\)

dx u du u du

SUR LES TAUTOCHRONES. 175

donc, faisant maintenant x = o, on aura

, dX i) (/\ n \ — o et —. f- -7- — 1).

ux u au

17. Cela posé, si l'on considère X comme une fonction de x ei a et qu'on suppose

,1 \ = P dx + Q </« , (/ P = R dx ~ S rfa , on aura

^ = P et ^*=R

dx dx-

de sorte (|iie la quantité <7 deviendra

Regardons maintenant la quantité X comme une fonction de .r et //, et

l'on aura aussi

f/X = T dx -f- V du,

dT=Wdx-hYdu,

d\ Ydx + Zdw,

or on a, par

l'équation (E),

. p dx r da u u

donc

,1 \ (r - f~ ) dx - N du ; y u ) u

donc

différentions tnainlenanl cette valeur de P, et l'on aura

dV = Wdx + Ydu—Yd£ '' \ d.> -/.du,

c'est-à-dire

rfp (w N d± v e.)dx* (i x t - N/' ^W

U '/x U / V a du u' u i

;i cause de

dR-=l-(d-E-dx+i-du\-P^

ii u \dx du I ii

, , pdx nia et mettant pour du sa valeur — 5

n> (™ v dp 2 Y Vp dp \p2 Zp\ .

\ u clx u u1 du u* u- I

u \ u au u? u j

de sorte qu'on aura

R = W V (dp p dp i pt\ i Zp2 zYp

u \dx u du u3/ u' u

Substituant donc dans q les valeurs de P et de R que nous venons de trouver, on aura

X I dp dp pr\

-û\U'dx~- UP du^u2)^ lp: ~ 2l UP' c'est-à-dire

» = xs+T("sî-'')-v"l+w"'+z'"-'ï"''-

Or, puisque X est regardé maintenant comme une fonction de x et u, on aura

T = — , V=— , W = — , Y= d>* > Z^^X, dx du dx2 dx du du2

donc, substituant ces valeurs, on aura pour l'équation de condition

dp dX( dp \ dX dp <PX , d\ 2 o rf2X rfx ' rAr \ du " j du dx dx2 du2 ' " dx du '

et cette équation suflira pour la solution du Problème.

18. Donc, si l'on veut que p soit exprimé par £-f-V, V étant une

SUR LES ÏAUTOCHRONES. 177

fonction donnée de u, et S une fonction inconnue de x, on substituera dans l'équation précédente cette valeur de p, ce qui donnera

d\ dX I rfV \ r/X JJ

«te dx \ du 7 r/« f/.r

+ -7-7 II1 H- -p- (i + Vr-2 £ -4- V ) « = o.

dx2 du1 du dx

Et l'on tâchera de déterminer par cette équation les quantités | et X, en sorte que | soit une fonction quelconque de x seul, et que X soit une fonction de x et de u assujettie aux conditions énoncées dans le n° H).

19. Coroll.ure. — Si l'on suppose que la quantité X soit donnée dans l'équation flj, on pourra en tirer la valeur de p. Pour cela, je remarque que celle équation peut se réduire à celle-ci

dX d\ v dX d\

x p - su l,a + s " X/' ~ su p" + Se u

dx du

ce qui est aisé à vérifier par la dilferentialion, de sorte qu'il faudra que

la quantité

// du + p dx

i\- dX , , dX

soit une différentielle complète d'une fonction de x et de u.

En effet, pour que l'équation K (\u n° i soit possible en regardant p et X comme des l'on» lions de x et de //, il est clair qu'il faut que

u (lu -+- pdx . ...... ... ., n . ,

— *— soil une dillerentielle complète. Or on a, en mettant Y a la

place de '^ 17),

mais on a, par le même numéro.

U il l u (lu

donc

/ dX\ d\

= P\1L-U-du-)+Ute

Maintenant, si l'on tire la valeur àep de cette équation, on aura

X — u —f— du

et cette valeur étant substituée dans la quantité —£——■, on aura

celle-ci

, u2 dX .

, dx j — dx

u du r dx

v dX

, X u du — m2 ( —r— du -+- -f- dx

dx \ du dx

dX dX\

ou bien

x~udx- r[x-ud«!

c'est-à-dire, à cause de dX = -j— du -h -j— dx,

du dx

uX2 ,u

„ dX ( dX\ "X

\ — u —= — /• X — u —. — dx \ du j

laquelle devra donc être une différentielle complète.

Soit

tirant de cette équation la valeur de u, elle sera exprimée en a et v, de sorte (jue, substituant cette valeur dans la quantité précédente, on aura une quantité de la forme

\dx -+- - dr, r '

où Y et Z seront des fonctions données de^r et v, et où /sera une fonction

SUR LES TAUTOCHRONES. 17!)

inconnue des mêmes variables, laquelle devra être telle, que la quantité dont il s'agit soit une différentielle complète. D'où il s'ensuit qu'on aura

<p(y) étant une fonction quelconque de y, et par conséquent

Ayant /\ on aura p par la formule ci-dessus, de sorte qu'en remettant

rr à la place de y, on aura/? en x et u.