L-\-d>p -+- aN -4- a2M m

Mais dans le numéro cité on avait

r3 = L -f- 3aM -+- 3a2N et s3 = L -\- 3«N -h 3a!M ;

donc

«M + a!N = — = — et aN + a!M

par conséquent les deux fractions dont il s'agit seront

/•3 -i- 2L -+- i8/> s3 -i- ih -f- i8/^

3 (/h2 — 3«i" 3im2— 3«) '

ou bien (8)

3(m2—3n) Gt 3(m2-3«) '

z' et z" étant les racines de l'équation

z2 -+■ (2m3 — gmn -+- 27^) z -h (m2 — 3n)3 = o

qui est la réduite que donne la méthode de Cardan.

Ce qui fait voir clairement la liaison et l'analogie de cette méthode avec celle de Tschirnaus.

17. L'expression de ce trouvée (10) d'après la méthode de Tschirnaus peut se mettre évidemment sous cette forme

f+sr

f, g et tétant des indéterminées et y la racine d'une équation du troisième degré à deux termes telle que

Ainsi il n'y aurait qu'à éliminer y par le moyen de ces deux équations, dont la première donne

f-kx

ce qui étant substitué dans la seconde, il vient

II 4 — r O,

équation du troisième degré qu'on pourra comparer avec la proposée; et celte comparaison servira à déterminer les quantités/, g, k, />, dont une restera arbitraire el pourra être prise à volonté.

Cette méthode de résoudre les équations (\\\ troisième degré a déjà été employée par M. Bezoul dans un excellent Mémoire qu'il a donne sur cette matière dans le volume des Mémoires de l'Académie des Sciences de

Paris, pour l'année 1762, et dans lequel l'Auteur a fait un usage utile et heureux de ces substitutions pour résoudre une classe très-étendue d'équations de tous les degrés. Nous nous contenterons de remarquer ici que si l'on voulait savoir d'avance ce que l'on peut se promettre des substitutions dont il s'agit pour la résolution des équations du troisième degré, il n'y aurait qu'à chercher à priori le degré et la forme de l'équation qui donnera l'un des coefficients/, ou g, etc.; pour cela on considérera que, puisque j3 -+- h = o, on aura ces trois valeurs de y, savoir — \Jh, — <x\h, — a2 y/A, lesquelles étant substituées dans l'expression de

.. f+gr

k-hy

donneront les trois valeurs de x, savoir a;', x", x'". Ainsi prenant l'équation

kx~f + {x — g) y = o,

on en déduira ces trois-ci

hx' —f— {X1 — g) "y/Il = O,

kx" — f — a. (x" — g) sj h = o.

hx'"- f — a'ix'" — g)ï/h = <j,

qui étant d'abord ajoutées ensemble donnent, à cause de x'-\- a?"— x" = — m et î -f- a -t- a2 = o,

mk -f- 3/'-f- { x' -+- acx" -+- o?x'" \ J h — o;

de plus, multipliant la seconde par a et la troisième par or, et les ajoutant ensuite toutes trois ensemble, on aura

h x' -f- ccx" -+- a'x'" — ( x' -h x2x" -f- xx'" 1 1 li = o.

Celle-ci donne

».-r k ( x' -+- cl x" -f- ofx"

et, cette valeur étant substituée dans la première, on aura en divisant

par k

if (x'-hax" + aix'"y

k x' -+- ax' "-+- a2x"

d'où l'on tire

f m x' -f- ax" 4- a3x'" ' ~k~~J~ 3T.r' -+- ax'" -h cTx* '

11 est d'abord facile de voir par cette expression que la quantité j- ne peut

avoir que deux valeurs différentes, et que par conséquent elle ne pourra être donnée que par une équation du second degré; car la fraction

( x' -f- ax'' -+- a2x'" ?

x' +ax'"+a2x"

ne peut que demeurer la même, ou se changer dans la fraction

r' -*-ax"'-\-a2x")2 x' +ax"+a2xm '

en faisant telle permutation que l'on voudra entre les trois racines .r. x",x'". C'est ce qu'on comprendra encore plus aisément en multipliant le haut et le bas de la première fraction par

X' ■+■ OLX" -f- tt?x'",

et le haut et le bas de la seconde par

x' -h eux'" -■ x2x"; car alors elles deviendront '16)

( x' -+- ax" + a\r x' h ax'" -f- a1 x" '

ni1 —on m2 — 3 n

c'est-à-dire (7)

oïl 1 1 1 • ' 1 1

de sorte que les deux valeurs de v seront

z' et z" étant les racines de l'équation en z donnée ci-dessus.