XX -+- x'x

Cette expression de A doit nous l'aire juger immédiatement du degré de l'équation par laquelle la quantité b doit être déterminée; en effet, il esl clair que cette équation doit avoir autant de racines qu'il peut \ avoir de valeurs de b: or les différentes valeurs de b ne peuvenl venir que des permutations qu'on peut faire entre les racines » . ■>' . x : el ces permutations sont au nombre de six, comme nous l'avons déjà remarqué pins haut [voyez les q°' (> el suivants, <>n l«> lettres a. b, <■ désignent les mêmes quantités qui sonl nommées ici .*•', x", a ; ainsi lu quantité b lit. 3o

m SUR LA RÉSOLUTION ALGÉRRIQUE

pourra avoir en tout six valeurs, qui seront

x * -1- otx 2 -f- a'x '

x'2 + ocx'"2 -4- a2^"2

!c"-h<xx"'+aix' '

x"2-l- aa?'2 + a2.r"'2 \r"-4-a.r'-f-a2.r'" '

/Hw'^ a2x"2 'V'+aar' + «2x'r '

.r'"-f- a.r -f- oc-x'

de sorte que, généralement parlant, l'équation en b devrait être du sixième degré; mais j'observe que des six valeurs précédentes la première, la troisième et la cinquième sont égales, ainsi que la seconde, la quatrième et la sixième. En effet, en multipliant le numérateur et le dénominateur de la première par a, ce qui ne la change pas, elle devient la cinquième, a cause de o? = i et de x* = y.\ et multipliant par a2, elle devient la troisième; de même, en multipliant le haut et le bas de la seconde par «, on aura la quatrième, et en multipliant par a2, on aura la sixième. Donc l'équation en b du sixième degré aura nécessairement trois racines égales entre elles et trois autres aussi égales entre elles; ce qui l'abaissera au second degré, puisqu'elle ne pourra être que le cube d'une équation du second degré; et voilà pourquoi la quantité b est donnée simplement par une équation du second degré, comme nous l'avons vu ci-dessus (10;. A l'égard de la quantité a, si l'on ajoute ensemble les trois équations (C), on aura, à cause de i -h a -h a2 = o,

x'2 -4- x"2 -+- x'"' = b { x' -4- x" -+- x'" ) -■- 3a; mais on a

x' -4- x" -f- x'" = — m et x'2 -h x"'- -+- x'"2 = m2 xn :

donc

m1 — in — — bm ! 3a,

et de là

bm h- m3 — in

de sorte qu'en connaissant la valeur de h on connaîtra aussitôt celle de a. 16. La formule

x' -+- ocx" -f- a2 x"

qui exprime la valeur de b, est doue très-remarquable en ce que, quelques permutations qu'on y fasse entre les quantités ce', x", or'", elle ne peut que demeurer la même, ou se changer en cette autre-ci

a?'1 H- ocx'"' -h x2x"\ x' -+- ocx'" -h oe'-x"

• le sorte que ces deux quantités ne peuvent cire que les racines d'une équation du second degré; on pourrait trouver à priori cette équation en cherchant la somme et le produit des deux quantités dont il s'agit, et il en résulterait après le calcul achevé une équation telle que l'équation en h qu'on a trouvée plus haut (10; .

On peut encore remarquer que si l'on multiplie ensemble les deux dénominateurs

x' 4- ocx" -4- y?x'" et x' -f- ocx'" -\- aïx' , un aura pour produit

x"'-' x"1 ■ x"" ' y. x" x'x" V'x> • x".r"' ; mais

/ r"* -t- a?"' = m» — 2 n, x'x' > <"' x"x* n el a -f- a' i;

de sorte que ce produit deviendra m1 - 3n. De plus, si l'on multiplie le numérateur

x>*+ ax"2-\ a2x'"J

par le dénominateur

Z' + OtA > '".

on aura pour produit la quantité

x'3 -t- x"3 + x'"3 + a i x'2x'" -f- x"2.r' + .r'"2.r" ) + a2 ( .r'2.r" 4- x'nx"' -4- .r'"2 .r' .

laquelle (à cause que a?', x", x'" sont les mêmes racines que nous avons nommées ailleurs a, b, c) se réduit (7) à

L — 6x'x"x"'-hocM + *2N,

ou bien à

L + 6/) + aM + a2N,

puisque x'x"x'" = — p\ de sorte que la fraction

x'2 + «"'+ a2Jf'"2

deviendra, en multipliant le haut et le bas par x ' -h a.x'" + c/}x", celle-ci

L + 6/> + aM + a2N m2 — 3«

et de même l'autre fraction

x'2 -f- ax'"2 -I- a2.r"2

x' -+-OCX'"-h 0L2X"

deviendra, en multipliant le haut et le bas par .r'+ <xx"-\- a2x'\