Reprenons la formuTe trouvée dans le n° 21 , savoir

Xr J 7 ■

et remarquons que, par les théorèmes connus de la multisection angulaire, la quantité

y*r rv — —i- ■ - y — —

représente, dans un cercle dont le rayon est égal à i , la corde du complément à i8od d'un arc ruplv de celui dont la corde du complément serait v; de sorte qu'eu nommant ce dernier arc 29 on aura

y = 2COSO el )•'•— ;■)•'—'- H rr"i — . . .= acos/'o,

les cordes des compléments étant, comme on sait, égales aux doubles des cosinus de la moitié des aneles.

Ainsi taisant x -\ = 2 cos?>, on aura, en général, .r"n = 2 cos/iœ :

par conséquent les deux équations

x- — ix cos cp -( -■ 1 = o,

x'"' — ixn cos n cp -t- 1 = o

subsisteront à la fois, quel que soit le nombre n, en sorte que la première sera nécessairement un diviseur de la seconde; c'est le fondement du fameux théorème de M. Cotes.

Maintenant, si l'on résout ces deux équations à la manière des équations quadratiques, on aura ces deux-ci

x = coscp dz sincp y/ — 1, x" = cos n cp ± sin n cp \] — 1 ,

où il est facile de prouver que les signes ambigus doivent être les mêmes dans l'une et l'autre; car supposant f très-petit, on aura, aux infiniment petits du second ordre près.

coscp = i, sino = c. et de même cosn<p:=i, sin»<p = »cp,

de sorte que les deux équations deviendront»

x = 1 ± cp y — 1 , X"= i± ndf \J— 1:

or, en élevant la première à la puissance n, et négligeant le carré et les puissances plus hautes de y, on aurait

valeur qui devant être la même que celle qui est donnée par la seconde équation, on en conclura l'identité des signes ambigus -i- ou — dans les deux équations. Faisant donc abstraction de l'ambiguïté des signes, il est clair que

x = COS9 -t- sincp y — 1

sera la résolution de l'équation

x" — cosncp — sin/tcp ^ — 1 = o.

Donc, si l'on suppose sinnf = o et cosncp = 1 , ce qui donne ny = 36od ou = 720e1, ou, en général, égal à m ■ 36od, m elant un nombre entier quelconque, on aura l'équation

dont la résolution sera, à cause de w = X 36od,

x = cos ( — x 36odj -4- si 11 I — > 3(\o<]\

Cette expression esl générale pour chacune des racines de l'équation proposée af—i= o, el on les aura toutes en faisant successivement m = 1 , a, 3 jusqu'à n inclusivement; il sérail inutile de faire m //. puisqu'il en résulterait de nouveau les mêmes valeurs que lorsque m n.

21. Nous remarquerons d'abord sur celle solution que toutes les racines de l'équation r" — 1 = 0 doivent être différentes entre elles, puisque dans la circonférence il n'\ a pas deux arcs différents qui aient un même sinus et un même cosinus a la fois. De plus il est facile de voir que toutes les racines seront imaginaires, ii l'exception de la dernière qui répond à m n et qui sn;i toujours égale a 1 , et de celle qui répon-

dra à m — -, lorsque n sera pair, laquelle sera égale à — i ; car pour que la partie imaginaire de l'expression de x disparaisse, il faut que l'on ail

sin ( — x 36od) = o,

ce qui n'arrive que lorsque l'are est égal a 36od ou à i8od; de sorte qu'on

aura ou — = i ou = -» et par conséquent ou m = n ou m= -; dans

le premier eas la partie réelle cos ( — x 36od ) deviendra cos36od = i; el

dans le second elle deviendra cosi8od = — j. Maintenant, si l'on fait

36od . 36od ,

oc = cos h sin J— i ,

on aura par les formules ci-dessus

xm = cos ( — X 36od) -i- sin ( — x 3(iod) y — ';

de sorte que les différentes racines de x" — i = o seront toutes exprimées par les puissances de la quantité a; et qu'ainsi ces racines seront «, a2, a3,..., a", dont la dernière af sera toujours égale à i, ce qui est évident par l'équation même x" — i = o, laquelle doit donner y" — i — o, et dont

celle qui sera représentée par a , lorsque n est pair, sera égale à -- i, comme on l'a vu plus haut.

Il est bon d'observer ici que si n est un nombre premier, on pourra toujours représenter toutes les racines de x" — i = o par les puissances successives d'une quelconque de ces mêmes racines, la dernière seule exceptée; car soit, par exemple, n= 3, les racines seront y, y-, y3; si l'on prend à la place de a la racine suivante y-, on aura les trois racines cr, «', y6; mais, à cause de «s = i , il est clair que y* = y et que a8 = as; de sorte que ces racines seront y-, a, a8, les mêmes qu'auparavant; de même, si n = 5, les racines seront y, a2, a3, a*, a5; et si l'on

prend la racine a2 au lieu de la racine a, on aura celles-ci a2, a*, a6, a8, a'0, lesquelles, à cause de a5 — i, deviennent a2, a*, a, a3, a5; quesil'on prend à la place de a la racine a3, on trouvera de même, en rabattant des exposants de a qui surpassent 5 le nombre 5 autant de fois que l'on peut, on trouvera, dis-je, les racines a.3, a, a\ a2, a5; enfin, prenant pour « la racine «\ on trouvera celles-ci a\ a3, a2, a, a3; de sorte qu'on aura toujours les mêmes racines, mais dans un ordre différent.

En général, soit a'" une quelconque des n racines «, a2, a3,..., a", m étant plus petit que n, et « étant un nombre premier; prenant cette racine à la place de a, on aura celles-ci a'", a1"1, a"",..., a"'"; or, si l'on retranche des exposants im, 3m, [\m,..., lorsqu'ils surpassent n, le plus grand multiple de n qu'ils contiennent, et qu'on dénote les restes par/?, q, /%..., on aura les racines <z"\ c/f, a¥, a' ,..., a"; et je dis que les nombres m, p, q, /,..., n, dont aucun n'est plus grand que n, seront nécessairement tous différents entre eux; car si deux quelconques comme p et relaient égaux, comme ces nombres ne sont que les restes des nombres 2m, l\m, après en avoir retranché les plus grands multiples de //. il est clair qu'il faudrait que la différence de ces derniers 2m, !\m, fût divisible par //; ce qui ne se peut tant que n est premier et /??</?. Donc, puisque les nombres m, p, q, r,..., dont le nombre est n—ï, sont tous différents entre eux et tous moindres que n, il est clair qu'ils ne peuvent être autre chose que les nombres 1, 2, 'J>,..., // — 1; par conséquent les

racines a'", (/.'', a?, «'' v" seront les mêmes que les racines a, a2,

a8 y". Il est facile de voir que la démonstration précédente n'en subsistera pas moins lorsque // ne sera pas premier, pourvu que l'on prenne m premier à n\ mais si m n'est pas premier à />, et que leur plus grande mesure soit /, on verra aisément que tous les nombres m, />, q.

r. . seront mesurés par/; de sorte que ces nombres ne pourront être

que 'les multiples de / moindres que n.

De la il est aisé de conclure, en général, que Ton peut représenter toutes les racines </, «s, «',..., «"de l'équation .r" 1 o par les puissances 1", 2e, ')",..., n"""' d'une quelconque de ces racines comme c/'" . pourvu que /// soit premier a //: mais que si m lî'est pas premier à //. en

sorte que leur plus grande mesure soit /, on n'aura de cette manière que les seules racines a1, a.21, a31,..., a", donc chacune se trouvera répétée

autant de fois qu'il y a d'unités dans j-, et il est facile de voir par les

formules ci-dessus que ces dernières racines seront aussi celles de l'équation x? — i = o, en supposant lf= n.

Or, comme les racines de l'équation xn — r = o sont représentées par

oc, a2, oc3, ... , oc",

et que oc" = i , il est clair qu'on pourra les représenter aussi, si l'on veut,

par

iii i

oc oc2 or oc"

puisqu'on aura - = olk~k , — = a"-2,

a ce2

De plus, à cause que l'équation x" — i = o manque du second terme, il est clair qu'on aura toujours, en général,

a + oc2 + a3 + . . . -+- oc" = o ,

et de même

iii i

oc oc1 a? a"

Et lorsque n est un nombre composé comme If, on aura en particulier

et de même

c'est-à-dire que les sommes des puissances tant positives que négatives de y. dont les exposants sont divisibles par /ou par/seront égales à zéro: par conséquent aussi la somme des puissances dont les exposants ne seront point divisibles par/ sera nulle, comme aussi la somme de celles dont les exposants ne seront point divisibles par/. Ces différentes remarques pourront nous être utiles dans la suite.

oc1 + ocil -+-

. . + oc" = o,

ôr/+' '

a.f -f- tx*f -+-

. -+- oc" — o,

oc' ocJJ

DES ÉQUATIONS. 25:i

25. Maintenant voici les valeurs de u pour les équations af— i =o depuis n = i jusqu'à n = 6 :

v§ — 1 \ m -t- ?. v5 * — - — ii

tù 1,

Si l'on voulait avoir la valeur- de a pour l'équation

il faudrait, comme on l'a dit plus haut, résoudre une équation du troisième degré. En effet, en faisant p~3 dans les formules du n° 21 , on trouvera cette transformée en y

yi + y1 — iy — i — o,

qui, étant du troisième degré, aura toujours une racine réelle; et cette racine étant substituée dans l'équation

x7 — xy -+- i = o, on en tirera x, ou

Quant aux équations

x" — i = o, x* — i =z o et x'" — i = o,

on en pourra aussi exprimer la racine a par de simples radicaux carrés;

mais l'équation

exigerait la résolution de l'équation du cinquième degré

laquelle étant supposée, on aura pour a la même expression en v que ci-dessus.