DE LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU QUATRIEME DEGRÉ

26. On sait que Louis Ferrari, contemporain et même disciple de Cardan, est le premier qui ait trouvé une règle générale pour la résolution des équations du quatrième degré. Sa méthode consiste ii partager

l'équation proposée en deux membres, et a ajouter à l'un et à l'autre une même quantité telle, qu'on puisse extraire séparément la racine carrée des deux membres de l'équation, en sorte qu'elle soit par là abaissée au second degré. Cette méthode, qu'on peut regarder comme la plus ingénieuse de toutes celles qui ont été inventées depuis pour le même objet, a été adoptée par tous les Analystes qui ont précédé Descartes; mais cet illustre Géomètre a cru devoir lui en substituer une autre moins simple à la vérité et moins directe, mais à quelques égards plus conforme à la nature des équations : c'est celle que la plupart des Auteurs suivent aujourd'hui. Nous commencerons donc par examiner ces deux méthodes l'une après l'autre; ensuite nous viendrons aux méthodes connues pour la résolution de ces sortes d'équations, parmi lesquelles on doit surtout distinguer celles de M. Tschirnaus et de MM. Euler et Bezout.

Je suppose d'abord avec Ferrari que l'équation du quatrième degré qu'il s'agit de résoudre soit privée de son second terme, ce qu'on sait d'ailleurs être toujours possible, en sorte que cette équation soit représentée ainsi

x' -t- nx2 -+- px + ^ = o,

Qu'on fasse passer dans le second membre tous les termes excepté le premier, et qu'ensuite on ajoute à l'un et l'autre membre la quantité 2yx2 -t- y2, y étant une indéterminée, on aura

x* -+- ■y.yx"1 -+- y2 —'■ ( *y — n ) x1 — px -+- y'2 — q,

équation OÙ le premier membre est évidemment le carre de x2 -h y, de siuic qu'il ne s'agira plus que de rendre aussi carré le second; or poui cela il faut, comme on sait, que le carié de la moitié du coefficient du second terme — px soit égal au produit des coefficients des deux autres, ce qui donne cette condition

laquelle produit l'équation cubique

y r2 qy-\ '—-*-* n.

Supposant donc la résolution de cette équation en sorte qu'on connaisse une valeur (Je y, le second membre de la proposée deviendra

donc, tirant la racine carrée des deux membres, on aura

x'-+- y = \x — " diy — n,

équation où l'inconnue x ne monte qu'au second degré, et qui n'a par conséquent plus de difficulté. Faisons, pour plus de simplicité,

z — sjay — n,

on aura

i - — zx -+- y n — — = o, iz

d'où l'on tire sur-le-champ

ou bien, en remettant la valeur de z,

V 2 J" — « "t- l / — 2jy — « —

V Jzr — n

et cette expression donnera à la fois les quatre racines de la proposée en prenant successivement les deux radicaux carrés en plus et en inoins.

27. Nous remarquerons d'abord que cette méthode ne demande pas absolument l'évanouissement du second terme dans l'équation proposée, et qu'elle peut tout aussi bien s'appliquer aux équations complètes telles

que

x* -+- mxi -+- nx2 -+■ px -+- q = o,

en supposant que le premier membre ne soit pas simplement le carré

mx

de or2 -t- y, mais celui de x2 h \- y; en effet, en faisant passer comme

ci-devant les trois derniers termes dans le second membre et ajoutant de part et d'autre la quantité

I 2 y ■+■ -y- 1 x ■+■ mXx •+■ T »

on aura l'équation

/ mx \ * / m2 \ ,

( x-1 H h r ) = ( 2 J + t «U'+l mj — /> ) x -+- y2 — q .

On fera donc, pour rendre aussi le second membre carré,

d'où l'on tire l'équation cubique

« , mu — La (in — m?) a — u2

La valeur de jetant déterminée par cette équation, que nous appellerons dorénavant la réduite, si l'on fait, pour plus de simplicité.

on aura

et, tirant la racine carrée des deux membres,

mx mr— u

OU bien

il OU t'iltlll

il "' . / , m' / ■ "" />)!

lit. 33

et, remettant la valeur de z,

expression qui donnera pareillement les quatre racines de la proposée, en prenant successivement chacun des deux radicaux carrés qui y entrent en plus et en moins.

28. Puisque la réduite en y est du troisième degré, elle aura nécessairement trois racines, dont chacune pourra être également substituée dans l'expression de x, de sorte qu'à cause de l'ambiguïté des deux signes *radicaux (jue cette expression contient, il en résultera douze valeurs de x; d'où il est aisé de conclure que la résolution précédente est essentiellement celle d'une équation du douzième degré.

Pour trouver cette équation, il faudra éliminer/ de l'expression de .r et en faire disparaître ensuite tous les radicaux, ou bien on pourra remonter d'abord à l'équation rationnelle

mx \ s / mv

et il n'y aura plus qu'à en éliminer x après y avoir substitué pour z2 sa valeur

Supposons pour plus de généralité que la valeur de z2, au lieu d'être

MX*

simplement 2j-f- -j-%— n, soit

k ( iy -4- n ) ;

il est évident que le coefficient je ne peut aucunement changer le degré auquel doit monter l'équation en x après l'élimination de y; on aura de

cette manière l'équation

/ mx V i ( '»2 \ -, [m?' — P '

( x2 H h r) = k iy -+- -7 « x" H- mr — /; ) x ■+-

ou bien, à cause de

( my — p y ( m2 \ .

en vertu de l'équation en v,

/ , mx \ 2 , / m1 \ „ , Y2 — Q

c'est-à-dire

li ; / WX I (/ H- l/f — i) y*

x< -+- mx3 + \kn -+- ( i — k) ( ?.j -+- -j- \ \ x2 -+- px -+■ 3 — ^ : — = o.

Soit, pour abréger,

xk -t- mx3 -4- nx3 -t- px -+- <jr = \ ,

et, faisant k— j — h, l'équation précédente deviendra celle-ci X -+- h\ [ n — %- — iy\ x3 -t- •— ^-^ = o,

d'où il ne s'agira plus que d'éliminer y par le moyen de l'équation

K3 1 r» . ^-Jy . (4«- whq-p*

Nommons /', j", j" les trois racines de cette dernière équation, el l'équation en x résultant de l'élimination de l'inconnue y pourra être représentée 13] par le produit des trois quantités

XH-/,|(„ »"-,,1^r/ I]

ce produit étant égalé à zéro. Faisons, pour abréger,

et, supposant

(3=ry'+r'j"'+.r'>'",

on trouvera, pour le produit dont il s'agit,

A3+ A2 Ba -+- A2Cy + AB2(3 +ABC («p — 30) -+-AC2e -+- B3ô -4- B2Caâ •+- BU'jâo -4- Od*.

Mais taisant encore, pour abréger,

« i mp — 4 <7 a?2 — ( 4 « — m2 1 </

en sorte que l'équation en y soit représentée par

r3 — ay2 -+- by — c — o,

on aura, comme on sait, par la nature des équations,

a = a, fi = b, S = c,

cl de là

y = a- — 26, g = 62 — 2ac.

Donc l'équation cherchée, résultant de l'élimination de )- dans ces deux-ci

A-+-Bj-f-CjJ=o,

y3 — ay2 -t- by — c = o,

sera

A! + «AIB+ (a'— 26) AîC + 6AB,h- ab — 3c) ABC

-+- (62— iac) AC2+ cB3-4-«cBJC -4- ftcBC-t- c*C»=o.

Si l'on remet maintenant dans cette équation les valeurs de A, B, C et de a, b, c, on aura une équation en x qui montera au douzième degré, puisque A contient toutes les puissances de a? jusqu'à la quatrième inclusivement, que B contient simplement a;2, et que les autres quantités ne renferment pointa:.

Ainsi la résolution de cette équation du douzième degré sera comme ci-dessus

i / m . / m2 , 2 mr — p \

en supposant

z = ± y 2 y + -. nh ;

et il n'y aura point ici de racines superflues, puisque les trois valeurs de y, combinées avec les signes ambigus des deux radicaux, donneront précisément les douze racines de l'équation dont il s'agit.

Faisons à présent k = r pour avoir le cas du n° 27; donc h = o, et par conséquent

A = X = X* + mx3 -4- nx' -+- px -f- </, \\ = o, C = o ;

ainsi l'équation dont il s'agit se réduira à A3 — o, c'est-à-dire à celle-ci

x* -f- mx3 -f- nx' -f- px -f- q )' = o,

qui n'est autre chose, comme on voit, que l'équation proposée élevée au cube, de sorte qu'elle doit avoir les mêmes racines que cette dernière, mais chacune triple.

On voit par lit bien clairement la raison pourquoi l'expression trouvée pour la racine d'une équation *\\\ quatrième degré renferme réellement douze racines, qui se réduisent cependant à quatre, puisque chacune d'elles en a deux autres qui lui sont égales. De plus la démonstration précédente fait voir que les racines égales ne viennent que de l'élimination (\t\r, et nullement de l'ambiguïté des radicaux, puisque c'est l'élimination de y qui fait monter dans l'équation résultante la quantité X

au cube; d'où l'on peut conclure d'abord que, quelque valeur de y que l'on emploie dans l'expression de x, on aura toujours les mêmes quatre racines.

29. Mais, pour éclaircir encore davantage cette matière, on remarquera que, dès que la réduite en y a lieu, ce qui peut arriver de trois manières différentes à cause qu'elle a trois racines, on peut donner à la proposée la forme

mn \ a „/ my — p

a / \ iz'

comme on l'a fait au n° 27; par où l'on voit qu'elle n'est autre chose que le produit de ces deux-ci

mx my — p

c'est-à-dire

mx / my — w>

2 \ iz-

m \ my — p

iz

m \ my — p

de sorte que leur résolution donnera toujours les mêmes quatre racines de la proposée, quelle que soit la racine qu'on substituera à y.

Nommons maintenant a, b, c, d les quatre racines de la proposée; et il faudra que deux de ces racines soient renfermées dans l'une des deux équations précédentes, et que les deux autres le soient dans l'autre; de sorte qu'on aura, par la nature des équations,

d'où l'on lire

mr — p

J iz

ab -h cd

Cette valeur dey nous fait voir d'abord pourquoi la réduite enyesi «lu

troisième degré. En effet il est visible que la quantité y doit avoir autant

de valeurs différentes qu'on en pourra former par toutes les permutations

.,, , . , /il» . ab -\- cd possibles des racines a, b, c, d dans I expression ■ — -, on ne peut

avoir de cette manière que les trois quantités suivantes

ab -h cd ac 4- bd ad 4- cb

de sorte que l'équation dont y sera la racine, devra donner chacune de ces trois quantités et, par conséquent, devra être du troisième degré.

30. On peut donc déduire de cette remarque une manière directe de parvenir à la réduite du quatrième degré, et par son moyen à la résolution générale de ce degré. Car, puisque la combinaison ab -h cd des quatre racines a, b, c, d est telle qu'elle n'admet que trois variations, savoir

ab 4- cd, ac -+- bd, ad 4- cb,

il s'ensuit d'abord que si l'on fait

ab 4- cd — u ,

on aura une équation en u du troisième degré, dont les racines seront rd) 4- cd, ac -+- bd, ad -+- bc,

qui sera par conséquent de celle forme

OÙ l'on aura, par la nature des équations,

A = ab -+- cd -+- ac -+ bd H ad -4- cb,

B = ab -f cd \ ac ■+- bd , -h ab -t- cd ad + cb 4- ac 4- bd) ad 4- cb .

1 ( ab -t- cd ) (ac 4- bd ad 4- c/>),

c'est-à-dire

A = ab 4 ac -+- ad 4- bc 4- bd 4- cd,

B = "' bc-hbd + c</ ■ b ac+ad-hcd 4-e2 ab-+-ad-hbd) +</' ab i ac t bc ,

C =zabcd(a2-h 6J4- c'4- d*) + a7b'c2-^ a'b7d2 -i- a'c'd2 -t ï> < d

Or il est facile de voir que ces valeurs de A, B, C doivent être données par les coefficients m, n, p, q de la proposée, et cela sans aucune extraclion de racines, puisqu'elles demeurent les mêmes, quelque permutation qu'on fasse entre les racines a, b, c, d de cette équation; d'où il suit que chacune d'elles ne peut avoir qu'une seule et même valeur. En effet, ayant

— m = a-hb + c-+d,

n = ab -+- ac -+- ad -+- bc ■+- bel -+- cd,

— p = abc -+- abd -f- aed -+- bed,

q = abcd, on aura d'abord

ensuite, pour trouver B, on observera que

a ( bc -f- bd ■+- cd ' ) := — p — bed,

et de même

b (ac -+- ad -+- cd) = — p — aed,

et ainsi des autres, de sorte qu'on aura

B — {a -i- b -h c -i--d){ — p i — ^abcd,

c'est-à-dire

B = mp — 4<7-

Enfin, pour avoir C, on remarquera que

rt2 + b2 -4- c' -+- d 2 — m2 — 2 n ;

en sorte que la partie abcd (a2 -+- b2-hc2 -+- d2 ) deviendra (m2 — ^njq; et, pour avoir l'autre partie, on fera le carré de p et l'on en déduira

a2b2c2 -\-a2b2d- -+- a?c2d2 -+- b2c2d2 = p2— iabcd{ab + ac -\- bc -h ad -f- bd -+- cd)

= p2 — inq,

de sorte que l'on aura

Moyennant quoi notre réduite sera

m3 — nu2 -f- ( w/> — 4 </ ) « — ( ni3 — 4 n ) q — p2 — o, qui est la même que celle en y du n° 27, en supposant m = iy.

31 . Voyons maintenant comment, en connaissant une des valeurs de u, on pourra trouver les quatre racines a, b, c, d. Puisque

u = ab-\-cd et abcd=q,

il est clair que les deux quantités ab et cd seront les racines de cette équation du second degré

t2 — ut -t- q = o,

de sorte qu'en nommant /' et J"ces deux racines on connaîtra les deux produits

ab = V et cd=t"; de plus on a

— p = ab c -t- d) -+- cd {a -+- 6) = t'{ c -+- d) -h t"\a -4-6),

et comme

a-t-ô-t-c-t-rf= — m,

on aura

, p — mi' . p — /»/'

donc puisque

ab — t' et cd=t",

il est clair que <7 cl 6 seront les racines de cette équation du second degré

p — mt' .

et que c et r/ seront celles de l'équation

On voit par là qu'il suffît de connaître une (les racines de la réduite en // pour avoir les quatre racines a, b, c, d de la proposée, et que chacune des racines de celle réduite donnera toujours les mêmes quatre racines a,b,c,d\ car si, au lieu de prendre u = ab + cd, on eûl pris u = ac-4- bd on // ad bc, il n'v eûl eu d'autre changement dans nos formules sinon que b eùl été changé en c ou en d, el vice versa.

32. On pourrait résoudre encore l'équation du quatrième degré d'une manière plus simple à l'aide de la réduite dont la racine serait 29 j

z = ou bien s = c -\- d -— a — b,

en faisant, pour plus de simplicité, s= iz. Pour savoir d'abord de quel degré et de quelle forme doit être cette équation, il n'y a qu'à faire dans la quantité c-+-d— a — b toutes les permutations possibles entre les lettres a, b, c, d, et il en résultera les six suivantes

qui seront donc les racines de la réduite en s, de sorte que cette réduite sera nécessairement du sixième degré; mais, comme les six quantités précédentes sont deux à deux égales et de signes contraires, il s'ensuit que la réduite ne pourra contenir que des puissances paires de l'inconnue s, en sorte qu'elle sera résoluble à la manière des équations du troisième degré.

Donc, si l'on fait s2 = t, on aura une réduite en / du troisième dc^iv et dont les trois racines seront

a + b — c — d)2, (a -h c — b — d)1, <t hd — b — c -.

Ainsi l'on pourra trouver celte équation en cherchant la valeur de ses coefficients, comme nous l'avons fait plus haut à l'égard de la réduite en a (30); mais, sans entreprendre un nouveau calcul pour cet objet, il suffira de remarquer que le carré de a-\-b — c — d est

à1 4- b1 + c- + d2 -+■ y.ab + i cd — iuc — 2 ad 2 ba — a bd;

mais on a

ab -t- ac ■+■ ad -i- bc -+- bd -+- cd = » ,

<r-- fi' + c'+rf'^ffl' — an; donc, puisque

< — w?2 — 4 « -4- 4 ( «^ -+- t"' > c'est-à-dire

/ = m- — 4n f~4"" de sorte que, pour avoir la réduite cherchée en /, il n'y aura qu'à substituer, dans celle en u du n° 30, m. ~~^n à la place de u\ et l'on aura celle-ci

l3-- 3m'— 8»)/*-+- (3m4- [6ms7i-f-i6na-l-i6m/> — 64ç)£ — (/m3— 4^«-i-8/>)2: o.

Maintenant, si l'on suppose que t', t" et /soient les trois racines de cette équation, on aura (hypothèse)

[a -h b c d •• f, (a-hc— b — d'y = t" , [a -t- d — b — c)' = /'"; d'où, en tirant la racine carrée, on aura

a -4- 6 — c — rf= v7\ a -i- c — b — d — Jl", a -+- rf — 6 — c : v ' :

combinant ces trois équations avec l'équation

a + 6 -+- c + rf = — //' ,

on en tirera les valeurs de chacune des quatre racines a, />, c, d: on aura dont

— m + \jT \'" ■ \ t'" a = — , - — — ■ — i

- m y I ■ \ I sl

De cette manière on aura donc les quatre racines de la proposée, sans cire obligé de résoudre aucune autre équation que la réduite en l. Mais il se présente ici une difficulté, c'est que, comme chaque radical \Jt', sjt" , sjt'" peut être pris également en plus et en moins, les expressions précédentes renfermeront encore ces quatre quantités-ci

ft

sjt"

sj?

-hy/F"

qui ne sont pas les valeurs des racines a, b, c, d, mais celles de leurs compléments à la somme

a+b-hc-i-d = — ni.

Pour résoudre cette difficulté, je remarque qu'il n'est pas nécessaire de savoir précisément quel signe on doit donner à la valeur de chacun des radicaux dont il s'agit, mais qu'il suffit de savoir si ces valeurs doivent être prises, l'une positive et les deux autres positives ou négatives, ou bien l'une négative et les deux autres positives ou négatives; car il est facile de voir que les expressions des racines a, b, c, d, trouvées ci-dessus, donneront toujours les mêmes quatre racines en changeant à la fois les signes de deux quelconques des radicaux \'l\ \Jt", sjt'", et conservant celui du troisième. De sorte que tout se réduit à connaître le signe que doit avoir le produit des trois valeurs de sjt', sjt", \t". Or, par l'équation en l, on aura

t't"t'"= (m3— ^mn +8/>)%

DES EQUATIONS. 2(W

d'où l'on tire

m3— 4/?m + 8/y — fî yj¥' yjt» (*).

Donc, si l'on dénote par 0', 0", 0'" les valeurs des radicaux \[F, \t", \Jt'° prises positivement, en sorte que l'on ait

sjT = ± e\ fi" = ± 9", v/r = ± 6'",

il faudra, lorsque m3 — l±mn -+- Sp est une quantité positive, prendre-, ou

JT=B' et y/7~' = ±0", sj7" = ±e'", ou

vr=6" et yfF=±V, ^'=±0'", ou

vr = ô'" et ^ïï=±e'f V''r = ±6",

les signes ambigus devant être les mêmes pour les quantités 9", 0'", ou 6', S"', ou S', 0", et l'on aura dans ce cas pour les quatre racines de la proposée les valeurs suivantes

(*) Cette formule a été obtenue en extrayant la racine carrée des deux membres de la précédente, et celle-ci indique seulement que le produit des radicaux \ V, \/i\ //'"est éijal à ± (w — (///// + H/j). Lagrange remplace le signe ambigu ± par +, mais c'est le signe qu'il fallait prendre: en effet, les radicaux \ /', \7', yt'" représentent les valeurs des quantités

a A- h — C — d , a + C — b — d . fi -4- d — /; — c ,

<|ui ont pour produit la fonction symétrique

a -+- 1> 4- <■ 4- d i'1 - \ 'i , /j \ , y. d) ab h ac -f- ad -+- bc -+- bd -f- crf) 4- 8 ( <-//" + r/M + oerf 4- irrf), dont la valeur est — ///'+ i nui S/;. On a donc

\ t' \, i" \ / '" - /// -4- \nm -- H/>.

quels que soient les coefficients m, //,/.. réels ou imaginaires. Cette relation détermine complètement dans tous les cas l'un des radicaux \ ?, \ /". \ i" quand les valeurs des deux autres ont été lixée-. [Note de l'Éditeur.)

Au contraire, si ni* ~ [\mn + Rp est une quantité négative, il faudra alors prendre, ou

v/' -e' et v/r = ±0", v/rr=±e"',

s/l" = - 0" et v'77 = ±B', v/7'" = ± 6"',

on

s/r= — 9"' et y/7 = ±6', yjr=z±e"; ce qui donnera, pour les quatre racines cherchées, ces valeurs

33. La méthode de Ferrari, que nous venons d'examiner, nous a conduits à décomposer l'équation du quatrième degré

x* -+- mx3 -+- nx2 + px -+- q = o

en ces deux-ci du second degré (29;

de la résolution desquelles on peut tirer les quatre racines de la proposée, comme on l'a vu plus haut; on pourrait aussi obtenir cette décomposition d'une manière plus simple et plus directe, en supposant d'abord que l'équation proposée soit le produit de deux équations du second degré telles que

x1 -+- fx -+- g = o, x1 -+- hx -f- k =■ o,

et déterminant ensuite les coefficients y, g, h, k par la comparaison des termes homologues; c'est ce qu'a fait Descartes, et ce qui a donné naissance à la méthode des indéterminées dont il est regardé comme l'auteur. Multipliant donc les deux équations précédentes l'une par l'autre, on aura celle-ci

x* ■+- ( f ->, h \ x* -!- i fh + g -4- k ) x2 ■+- ( fk -f- gh ) x -+- gk = o,

laquelle étant comparée terme à terme avec la proposée

x" -+- mx3 -+- ra.r2 -+- /># H- g = o

donnera les quatre équations

f -\ h m, f/i -\- g-h k n, fk-\ gh />, gh q, lesquelles serviront à déterminer les quatre inconnues f, g, h, k.

34. Supposons d'abord, avec Descaries, que le second terme de la proposée soit évanoui, cVsl-à-dire que l'on ait. m= o; on aura donc/'— h = o et par conséquent h = /, de sorte que dans ce cas la proposée ne pourra venir que de la multiplication de deux équations telles que

x- -hfx ->- g - o, x'- - f'x ■ k o,

et l'on aura alors pour la détermination des trois coefficients y, g, k les équations

g ' '■ ./"•' "• >■ g f /'• gk q\

les deux premières donnent

et, ces valeur-- étant substituées dans la dernière, on aura

" r '', îv-

ou bien, en multipliant par/2 et ordonnant les termes par rapport à/,

fe 4- 2»/< + ( n2 — \q ) f2 — p2 — o,

équation du sixième degré, mais qui est résoluble à la manière de celles du troisième, à eause qu'elle ne renferme que des puissances paires de l'inconnue.

Telle est la méthode de Descartes pour les équations du quatrième degré. Il est vrai que cet Auteur suppose d'abord que les équations composantes soient représentées par

x2-\- fx + 1 £- =o, x2— £r + 1 k-St=o,

J 2 2 1J J 2 1 ij

ainsi qu'il résulte de la substitution des valeurs de g et de k trouvées cidessus; mais il est naturel de croire qu'il n'a trouvé ces formules que par une analyse semblable à celle que nous venons de donner, comme on peut le voir dans le Commentaire de Schooten et dans la Lettre de Hudde sur la réduction des équations.

35. Il est visible que la Solution précédente revient au même que celle des nos 26 et suivants, et que les inconnues /et z expriment la même quantité dans les deux Solutions lorsque m = o. Ainsi les principales remarques qu'on a faites sur la Solution de Ferrari pourront s'appliquer aussi à celle de Descartes, sans qu'il soit nécessaire d'entrer là-dessus dans un nouveau détail; mais il est bon, de plus, d'examiner en particulier le principe de cette dernière Solution et de chercher à priori les conséquences qui peuvent en résulter.

Ce principe consiste, comme nous venons de le voir, à supposer que l'équation proposée soit divisible par une équation du second degré

telle que

x2 +fx -f- g = o,

c'est-à-dire qu'elle ait deux racines communes avec cette dernière. Ainsi l'on pourra trouver les'conditions nécessaires pour cela par la méthode du n° 12. En eflèt. en divisant le quinôme

x* -h mx3 -h nx2 -+- px + <y

par le trinôme

on trouvera le quotient

x 2 -h ! m — f ) x ■+■ n — g — f { m — / ) , et le reste

de sorte que, pour que la division puisse se faire exactement, il faudra

que le reste soit nul indépendamment de oc, ce qui donnera ces deux

équations

P - g m -f -/[» - ff — /( m-f)] = o,

q — g[n-g-fim-f)}— °>

au moyen desquelles on pourra déterminer y* et g. La première de ces équations donnera d'abord

— P-nf+nf'-f

& " m -if

et, cette valeur étant substituée dans la seconde, on aura

q n '»/+/ m -if {m -if Y

ou bien (/*—"»/'■+- nf—p)1— f*—mp+nf—-p)(p—mf-\ n [if- m +q{zf— m)* =o,

qui, étant ordonnée par rapport à /, scia en changeant les signes

f' — 3 m/1 I- 3m!-t ■? n /*' — m [ni' ■ \>i / • nin- m/> ir — l\q J

m m/> n' \i/ f mn/> - nïq />' = o,

la même que celle qu'on tirerai 1 des quatre équations de condition du

Cette équation est, comme on voit, du sixième degré, avant tous ses termes; mais en faisant m = o tous les termes qui renferment des puissances impaires de l'inconnue s'évanouissent, de sorte que l'équation devient résoluble a la manière de celles du troisième degré: c'est le cas III. 35

que nous avons déjà considéré dans le n° 34. Mais il n'est pas même nécessaire de supposer m = o pour anéantir tous les termes où l'inconnue se trouve élevée à des puissances impaires; il suffît pour cela de faire disparaître le second terme en supposant, suivant la méthode connue.

et l'on verra que tous les autres termes s'évanouiront en même temps, de sorte qu'on aura une équation en / qui ne renfermera que des puissances de /2, laquelle sera

i. [3m2 \ ti (3m* , , \ . /m3 nui \2

1 - [-j- ~ 2») l ■+■ ^l6- - mn + mP + » - 4</ j l* - (j - — +p) = o,

équation qui est la même que la réduite en t du n° 32, en y faisant / = f\l2, de sorte que, comme on a supposé dans le même numéro t — s'2 et s— 2z,

on aura /— z; d'où l'on voit que la quantité l=f— - dans les formules

précédentes sera la même que la quantité z des nos27 et suivants, et cela sans supposer m — o, ce qui sert à montrer d'autant mieux la liaison des solutions que nous venons d'examiner.

36. Voyons maintenant la raison pourquoi la méthode de Descartes conduit à une réduite du sixième degré telle que, en y faisant évanouir le second terme, tous ceux qui renferment des puissances impaires de l'inconnue s'évanouissent aussi, comme nous venons de le trouver: pour cela on considérera que, puisque l'équation du second degré ce2 -h foc -;- g ■— o doit être un diviseur exact de la proposée dont les racines sont a, b, c, d, il faut nécessairement que la même équation renferme deux quelconques de ces quatre racines. Ainsi l'on aura

-f=a + b, g=ab,

—f=a-hc, g—ac,

OU

— f= a -+- cl, g ■=. ad,

OU

— /=6 + c, g=bc,

OU

-f=b + d, g=bd,

ou enfin

-f=c d, g=cd;

d'où l'on voit que l'équation en/doit être du sixième degré aussi bien que l'équation en g, c'est-à-dire du degré dont l'exposant sera égal au nombre des combinaisons de quatre choses prises deux à deux, nombre

qu'on sait être — = 6. On pourrait donc par ce moyen trouver directement tant l'équation en/que celle en g en cherchant la valeur de chacun de leurs coefficients, comme nous l'avons déjà pratiqué dans plusieurs occasions. Pour cela on représenterait d'abord l'équation en /' par la forme générale

et comme les racines de cette équation doivent être

on aurait

A = o + i + fl + c + fl il l> . c b d i ■ ■ d 3- a H h c d 3m,

3 a2 -4- 6' -+- c1 '/ 1-8 ab • ac ml ■ bc ■ bd i ni . = 3 (m' — an • 'S// 3m1 • >/'.

cl ainsi de suite.

Maintenant, si l'on voulait faire évanouir le second terme de cette

■lus

équation en/, il faudrait, suivant la règle connue, augmenter toutes les racines de ■>-> c'est-à-dire mettre, à la place de/, l — -^ j ce qui donnerait une transformée en / où

puisque

de sorte que les racines de cette transformée seraient

a+t+c+rf

c'est-à-dire

où l'on voit que chaque racine a sa compagne négative; en sorte que, si l'on en prend les carrés et qu'on regarde l2 comme l'inconnue, elle ne pourra avoir que trois valeurs différentes, savoir

d'où il s'ensuit que l'équation en /, étant ordonnée par rapport a ï2, montera au troisième degré, c'est-à-dire qu'elle sera du sixième, ayant toutes les puissances de l'inconnue paires, comme nous l'avons trouvé plus liant par une autre voie : c'est a cette circonstance heureuse qu'on doit la résolution des équations du quatrième degré. On voit aussi par là la raison pourquoi, dans le numéro précédent, l'équation en / est la même que celle en :■, car il est clair (32) que les valeurs de z sont les mêmes que celles que nous venons de trouver pour /.