III. 3S
précédentes
d'où l'on peut conclure d'abord que la réduite en c sera du sixième degré avec tous les exposants pairs, ainsi que cet Auteur l'a trouvé; car il est évident que la valeur de — D, dans l'hypothèse de M. Euler, est la même que celle de c2 dans l'hypothèse présente, de sorte qu'en mettant — c2 à la place de D dans la réduite de M. Euler on aura la réduite de M. Bezout en c, laquelle sera par conséquent du sixième degré, résoluble à la manière des équations du troisième. Au reste, cette réduite en c sera la même que celle en z du n° 29, en y substituant — ic à la place de z.
Voyons maintenant quelle devra être la forme des réduites en b et en d, en faisant toujours avec Al. Bezout D = — i. On aura dans cette hypothèse, par les formules du numéro précédent,
, x' — x" — ( x'" — Xlv J -
d'où l'on tirera toutes les valeurs de b et de d en faisant toutes les permutations possibles entre les quatre racines x', x", x'1', xly, et l'on pourra juger, par le nombre et la forme de ces valeurs, du degré et de la nature des équations par lesquelles les quantités b et d doivent être déterminées. Donc :
i° L'équation en b sera la même que l'équation en d, puisque la valeur de d résulte de celle de b en échangeant entre elles les deux racines x "'. x", de sorte que les valeurs de b et de d seront les racines d'une même équation ;
2° Cette équation sera en général du degré f\. 3. 2.1, c'est-à-dire <\u vingt-quatrième, puisqu'il y a autant de permutations possibles entre les quatre quantités x', x", x'", xlv;
3° Cette équation du vingt-quatrième degré aura tous les exposants multiples de 4» car il est facile de voir que, b étant une de ses racines,
- b, b\ \, et — b\J— i en seront aussi. En effet, prenant comme plus haut
il est visible que la quantité b deviendra — b en échangeant x' en x" et x" en .rIV, qu'elle deviendra b\ — i en échangeant .r' en .r et ,r"en .*'T, et qu'enfin elle deviendra — b\[— - 1 en échangeant x' en xiV et x" en a;'". Donc il faudra que l'équation en b demeure la même en y prenant b négatif et en y mettant ±b\J—\ à la place de b, ce qui exige qu'elle ne contienne aucune puissance impaire de b ni aucune puissance pairemenl impaire. D'où il s'ensuit qu'en faisant //' — c on aura une réduite en i> du sixième degré. Et l'on remarquera que celte réduite en v sera la même que celle en D dans l'hypothèse de b \ (numéro précédent); car il est visible que la valeur de — I) est la même que celle de bA ci-dessus.
On pourrait démontrer ici, par une méthode semblable à celle donl nous avons fait usage dans le n" 42. (pie celle équation en c pourra se décomposer en trois équations (lu second degré au moyen d'une réduite du troisième; mais on peut le prouver d'une manière plus simple que voici.
Je fais le produit des quantités b et <l, j'ai
iHi — .
or
if- x" 7 .>' x' x'1 + x'" -+- x"'J + x'y \{x'a > x"
el il esl clair que la quantité x'x" -+- xmaF est la même que la quantité u du n" 30 que nous avons vu dépendre d'une équation du troisième degré : d'où il s'ensuit que l'équation en bd sera aussi du troisième degré, lu comme
bd
on aura cette équation en bd, en substituant, dans l'équation en u du nu-
.., m2 — m — i6bd , , , ,
mero cite, — a la place de u.
Supposons maintenant que p', p", p" soient les racines de cette équation en bd, on aura (numéro citéj
p = — ^ g — =bd,
m2 — in x'x'" + x"xlw P =
m2 — in x'x,r -+- x"x'"
or, si l'on multiplie ensemble les deux équations
X' — X" = 2 (6 -+- d), X'" — Xiy — 2 ( h — d) y'— 7
du n° 48, on a
donc
4 62- rf2)v'37 = 8(p'"-P"),
et, prenant les carrés,
b' — ib2d2-h d<= — 4(p'"— pV; mais on a déjà bd— p'; donc
b" + di = ip'2- 4ip'" — p")2,
et, à cause de d= ^, b
fc<+£=2p'2-4(p"'-p'"-':
donc
équation du huitième degré, résoluble à la manière de celles du deuxième, ce qui s'accorde avec le résultat de M. Bezout.
Au reste, il est à propos de remarquer, touchant la réduite en b, qu'en
représentant (25 j par i, a, a2, a:1 les quatre racines de l'équation
x'1 — i = o, on aura
x' -+- ocxlv + oC-x" -+- <x3x'"
ou bien, ce qui revient au même, en échangeant .rIV en .r", .r' en x'" et
x" en xlv,
, x' -4- «" -4- a2^r'" -+- oc3x'v
expression analogue à celle qu'on a trouvée pour la réduite du troisième degré fnos 6 et 19), ce qui sert à faire voir l'analogie entre la résolution du quatrième degré déduite de cette dernière méthode et celle de la résolution des équations du troisième degré.
