Puisque la racine x est de la forme

Q + Rj-Mm-/:r- S + Tj-t-j2

la quantité v devant être déterminée par l'équation à deux termes

il est facile de voir qu'on peut réduire l'expression de x à cette forme plus simple

x = a -t- by -t- cy* -+- dy,

a, b, c, d étant des coefficients dépendants de Q, R, Car si l'on multiplie d'abord le haut et le bas de la fraction

Q + Rr+ (m —f)r- S -+- Tj -t-'v»-

par S — Tj+j2, le dénominateur de la nouvelle fraction deviendra

(S+j2)2— T2j2, c'est-à-dire S2 + ( 2S — TÀ) y> -h r4,

et, en mettant — D à la place de/4,

donc, multipliant encore tant le numérateur que le dénominateur par S2 — D — (2S — T2jr2, le nouveau dénominateur sera

(S2- D)2 — (2S-T2!2r\ ou bien, à cause de y" = — D,

où il n'y aura plus de y. Ainsi l'on pourra faire évanouir y du dénominateur de l'expression de x en le multipliant, aussi bien que le numérateur, par

or par ce moyen le numérateur deviendra un polynôme où y montera au sixième degré; donc, en y substituant — D à la place dej\ — Dy à la place de j5 et -- Dj2 à celle de j6, il ne s'y trouvera plus que les puissances y, y2 et j3, en sorte que l'expression de x sera de la forme

a -t- by -+- cy* -4- dy3.

Maintenant, comme la substitution des valeurs de y tirées de l'équation y'' -+- D — o doit donner les quatre racines x de la proposée

x* -+- mxi -+- nx2 -+- px -\ - q — o,

on pourra regarder cette équation comme résultant de l'élimination de y dans ces deux-ci

x = a + by 4- cy- -+- dy~ et y" 4- I> = o,

el la comparaison des termes homologues donnera quatre équations par lesquelles on pourra déterminer quatre quelconques des cinq coefficients a, h, c, d et D, le cinquième pouvant toujours être pris à volonté.

C'est la méthode que MM.Eulerel Bezoul ont proposée pour la résolution des équations «lu quatrième degré dans les Mémoires rites cidessus (18).

M. Euler l'ait c — i , et il trouve par l'élimination des trois autres indéterminées (t, b, d une réduite en I) du troisième degré. M. Bezout, au contraire, l'ait d'abord D - 1, el il trouve une réduite en c du sixième degré résoluble à la manière des équations du troisième, parce qu'elle ne contient aucune puissance impaire de l'inconnue. M. Bezout fait voir en même temps que, si au lieu de chercher c on cherchait l> ou d, on tomberait dans une réduite «lu vingt-quatrième degré, avec des exposants multiples de i, el par conséquent résoluble a la manière des équations du sixième degré. Il fait voir de plus que si l'on cherche une réduite

dont bd soil la racine, elle ne sera que du troisième degré; et par là il démontre que la réduite en b ou en d ne renfermera que les difficultés du troisième degré, puisqu'elle pourra, à l'aide de l'équation eu bd, se déeoiuposer en trois équations du huitième degré avec des exposants multiples de l\, lesquelles seront par conséquent résolubles à la manière de celles du second.

Nous nous contentons d'indiquer ici ces résultats, puisque le lecteur peut aisément les trouver de lui-même s'il n'est pas à portée de consulter les Mémoires cités; mais nous allons chercher à priori la raison de ces résultats, comme nous l'avons pratiqué jusqu'ici.

47. Nommons x', x", x'", xlv les quatre valeurs de x, c'est-à-dire les racines de la proposée, et les quatre valeurs de y tirées de l'équation y4 -h D — o étant =h \/— D, ± \ — D y— i » on aura, par la substitution successive de ces valeurs dans l'équation

x = a -+- hy -+- t;r3 + dy'\ ces quatre-ci

x' = a^-b y— D -f c Ï/JP h- d V7^7T3,

x" = a - b ÏJ — Ï3 + cffi - d î/~ D\

x" = a -+■ 6 JA=D J—l - c v'D2 - d\j =T73 v ^T,

Si l'on ajoute d'abord ensemble ces quatre équations on aura

x' + x"-y- x'" -+- x1" = 4" = '"' d'où

Ensuite, si l'on l'ail deux sommes à part des deux premières et des deux dernières, on aura

x'"-i- X,v= 2a — 1C y/ÏF,

d'où l'on tire

Donc, faisant avec M. Euler c = i, on aura

Et il est facile de conclure de cette expression de D que l'équation en D sera effectivement du troisième degré, comme M. Euler l'a trouvé, car elle ne sera autre chose que la réduite en / trouvée plus haut (32), dans laquelle on mettrait -- r6D à la place de /, puisqu'on a fait

a, b, c, d désignant dans ce numéro-là les quantités que nous dénotons maintenant para?', oc", x'\ a?lv, c'est-à-dire les quatre racines de la proposée.

Mais si M. Euler, au lieu de supposer c=i, avait supposé b = i , sa réduite eu D n'aurait plus été du troisième degré, mais elle serait montée au sixième.

Car, si des quatre équations ci-dessus on prend la différence des deux premières et la différence des deux dernières, on a ces deux-ci

*■'"— x"= [ïb'J^-D - zd'J— D8] v'-7!-, d'où l'on tire

De sorte qu'en faisant b— i et prenant les quatrièmes puissances on aura

D jV-g"-(*»-*".y'-i T

quantité qui doit dépendre d'une équation du sixième degré, comme on

le verra dans un moment.

ïn. Si l'on l'ait avec .M. Bezoul l> i, on aura par les formules