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Le Problème de la résolution des équations des degrés supérieurs au quatrième est un de ceux dont on n'a pas encore pu venir à bout, quoique d'ailleurs rien n'en démontre l'impossibilité. Je ne connais jusqu'à présent que deux méthodes qui paraissent donner quelque espérance de succès. Ce sont, l'une celle de M. Tscbirnaus, publiée dans les Actes de Leipsic de i683, et l'autre celle que MM. Euler et Bezout ont proposée presque en même temps, le premier dans les Nouveaux Commentaires de Pétersbourg, tome IX, et le second dans les Mémoires de /'Académie des Sciences de Paris pour l'année 176D. Os méthodes ont l'avantage de donner la résolution des équations du troisième et du quatrième degré d'une manière générale et uniforme, comme on l'a vu dans les Sections précédentes, avantage qui leur est particulier, et qui peut par conséquent être un préjugé pour leur succès dans les degrés plus élevés; mais les calculs qu'elles demandent dans les équations du cinquième degré ci des degrés ultérieurs sont si longs et si compliqués, que le plus intrépide calculateur peut en être rebuté. En effet, pour appliquer, par exemple, la méthode de M. Tscbirnaus au cinquième degré, il faudra résoudre quatre équations qui renferment quatre inconnues, et donl la première est du premier degré, la seconde du second, et ainsi de suite; de sorte que l'équation finale résultante de l'élimination de trois de ces inconnues doit monter, en gênerai, au degré du ni l'exposant scia 1.3. >. i, c'est -adire au vingt-quatrième degré. Or, indépendamment du travail immense qui sera nécessaire pour parvenir li celte équation, il est clair que quand on l'aura trouvée on n'en sera guère plus avancé, il moins qu'on ne puisse la réduire ii un degré moindre que le cinquième, réduction qui, si elle est possible, ne pourra cire que le fruit d'un nouveau travail plus considérable que le premier.

Suivant la méthode de M. Euler. on parviendra ;hi^si nécessairement a III. 3g

une réduite du vingt-quatrième degré; car quoique cette méthode paraisse promettre une réduite du quatrième degré seulement, par la raison qu'elle ne donne pour le troisième degré qu'une réduite du second, et pour le quatrième degré qu'une réduite du troisième; cependant M. Bezuut remarque avec raison que c'est une simplification accidentelle qui, dans le quatrième degré, rabaisse la réduite de M. Euler au troisième degré, laquelle doit être, en général, du degré 2.3, c'est-à-dire du sixième, et que cette simplification n'a lieu que parce que l'exposant 4 est un nombre composé. Nous en avons donné la raison à priori dans la Section précédente, et nous y avons aussi fait voir que M. Euler serait nécessairement tombé dans une réduite du sixième degré s'il avait cherché à déterminer par l'élimination une des deux autres inconnues qui entrent dans ses formules. Ainsi l'on n'a d'avance aucun fondement d'attendre, pour le cinquième degré, une réduite d'un degré moindre que le vingt-quatrième, par la méthode de M. Euler; et si cette équation est susceptible de quelque réduction, ce ne sera qu'à l'aide d'un grand nombre de tentatives et de calculs très-laborieux qu'on pourra s'en assurer.

Ces inconvénients doivent avoir lieu de même dans la méthode de M. Bezout, qui ne diffère point de celle de M. Euler, si ce n'est qu'elle donne des réduites plus élevées en apparence, les exposants y étant tous des multiples de l'exposant du degré de l'équation proposée. Ainsi, dans le cinquième degré, on a, d'après la méthode de M. Bezout, une réduite du cent vingtième degré avec des exposants multiples de 5; de sorte qu'elle équivaut à une équation du vingt-quatrième degré.

Ce savant Auteur pense à la vérité que celte réduite du cent vingtième degré, regardée comme une équation du vingt-quatrième degré, ne doit renfermer que les difficultés des degrés inférieurs au cinquième, et ses raisons sont : i° que l'expression des racines des équations du cinquième degré ne peut renfermer d'autres radicaux que ceux de ce degré et des degrés inférieurs: 2° que par conséquent les racines de la réduite de ce degré ne doivent renfermer que les mêmes espèces de radicaux, c'est-àdire des radicaux cinquièmes, quatrièmes, etc.; 3° que comme les racines de la réduite du cent vingtième degré doivent être les racines cin-

quièmes de celles d'une équation du vingt-quatrième degré, les radicaux cinquièmes seront mis en évidence par là, en sorte que les racines de cette équation du vingt-quatrième degré ne pourront plus renfermer que des radicaux inférieurs, et qu'ainsi sa résolution ne devra dépendre que des degrés inférieurs au cinquième. Mais cette conclusion, si j'ose le dire, me parait un peu forcée, car j'avoue que je ne vois pas bien clairement ce qui pourrait empêcher que l'expression des racines de l'équation du vingt-quatrième degré dont il s'agit ne contint encore des radicaux cinquièmes; du moins il n'est pas démontré que cela ne puisse absolument avoir lieu; ainsi il pourrait bien arriver que cette équation du vingt-quatrième degré renfermât encore toutes les difficultés de l'équation proposée du cinquième degré; auquel cas, après avoir trouvé cette équation par des calculs très-pénibles, on n'en serait que plus éloigné de la résolution de l'équation proposée.

Il résulte de ces réflexions qu'il est très-douteux que les méthodes dont nous venons de parler puissent donner la résolution complète des équations du cinquième degré, et à plus forte raison celle des degrés supérieurs; et cette incertitude, jointe à la longueur des calculs que ces mél h (ides exigent, doit rebuter d'avance tous ceux qui pourraient être tentés d'en faire usage pour résoudre un des Problèmes les plus célèbres et les plus importants de l'Algèbre. Aussi voyons-nous que les Auteurs mêmes de ces méthodes se sont contentés d'en faire l'application au troisième et au quatrième degré, et que personne n'a encore entrepris de pousser leur travail plus loin.

Il sciait donc fort ii souhaiter que l'on put juger à priori du succès que l'on peul se promettre dans l'application de ces méthodes aux degrés supérieurs au quatrième; nous allons lâcher d'en donner les moyens par une analyse semblable à celle donl nous nous sommes servis jusqu'ici ;i l'égard des méthodes connues pour la résolution des équations du troisième ci du quatrième degré.