Considérons en général l'équation du \j.teme degré

( a x''k -h mj1'-1 + nx*'2 -+- p x,f- 3 + . . . = o.

Suivant la méthode de M. Tschirnaus on prendra une équation subsidiaire, telle que

( b x'- -t-fx'^' -+- gxt-'1 -j- . . . -+- y = o,

([ui contient p indéterminées y, g, ... avec une nouvelle inconnue y; on éliminera par le moyen de ces deux équations l'inconnue x, et l'on aura une transformée en y qui sera du même degré \x que la proposée, et qui aura cette forme

c y* -+- A y1-1 -+- By—2 -t- C j<"-3 + . . . = o,

où les coefficients A, B, C,... seront des fonctions rationnelles et entières des coefficients indéterminés,/, g,..., et où l'on aura, en particulier, A égal à une fonction de la première dimension, B égal a une fonction de la seconde dimension, et ainsi de suite (14).

Or, ayant p indéterminées, on pourra par leur moyen faire évanouir, dans la transformée en y, p termes à volonté, ou bien établir entre ces termes telles relations qu'on voudra, dépendantes de p équations, et par là rendre l'équation en y résoluble, ou au moins réductible à une équation de degré inférieur. La résolution de cette équation en y donnera sur-le-champ celle de l'équation proposée en x, car nous avons démontré (11) que l'équation en y renferme les conditions nécessaires pour que les deux équations d'où l'on a éliminé x aient une racine commune; de sorte que la valeur de x ne pourra être que la racine commune aux deux équations (a) et (b), qu'on trouvera en cherchant leur plus grand commun diviseur et l'égalant à zéro.

On fera pour cela l'opération ordinaire, qu'on continuera jusqu'à ce qu'on parvienne à un reste où x ne soit plus que linéaire : ce reste sera le diviseur cherché; ou bien, ce qui revient au même, on éliminera successivement des deux équations précédentes les puissances de x, jusqu'à ce qu'on arrive à une équation qui ne renferme que la première puis-

sance de x, et il est aisé de prouver que cette équation sera de la forme

F + G/ + H j2 H-... + Kji + (L + M y ■+

d'où l'on aura

.. + R,rl