LA THÉORIE DES FOYERS

Far m. E. LAGUERRE-WERLY, de Bar-lk-Duc, Élève de rinstitution Barbel.

Nouvelles Annales de Mathématiques; iSSa.

l. Soit une conique ayant pour foyer le point [a, P], son équation sera de la forme

X étant une fonction linéaire de x et de y^ ou bien encore

; (a;-a)H-v/=nrO'-p)jj(a;-a)-/^(^-P)j = X«.

Sous celte dernière forme, on voit que cette conique est tangente aux deux droites

et

Réciproquement, si une conique est langenle à ces deux droites, elle a pour foyer le point [a, p]. Cette propriété analytique peni être employée pour trouver les coordonnées des quatre foyers d^une conique donnée par son équation.

Il suit de là que les coniques confocales doivent être regardées comme tangentes à deux mêmes droites, les coniques bi-confocales comme inscrites dans un même quadrilatère dont les quatre sommets sont les quatre foyers communs. Ces propriétés projectiles

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des fojers nous permeltront de généraliser leurs propriétés métriques.

2. Ainsi, de la tliéorie des coniques bi-confocales, nous pourrons tirer tous les théorèmes relatifs aux coniques inscrites dans un même quadrilatère.

Considérons, par exemple, trois coniques bi-confocales; par un point extérieur, menons-leur des tangentes : ces trois couples de tangentes auront une bissectrice commune; donc ils formeront un faisceau en involution. En généralisant, nous retrouverons le théorème de Desargues.

î^. Deux coniques bl-confocales se coupent orthogonalement. L'homographie généralise ainsi ce théorème :

Si deux coniques inscrites dans un même quadrilatère se coupent, les deux tangentes menées au point d* intersection, et les droites obtenues en joignant ce point à deux sommets opposés du quadrilatère circonscrit^ forment un faisceau harmonique.

\. La considération des foyers imaginaires peut être souveni utile; je ne citerai qu'un exemple.

Considérons une conique et deux tangentes à celte conique ; joignons le point d'intersection des deux tangentes aux quatre fo}^ers; les trois couples de droites ainsi obtenues auront une bissectrice commune; donc ils formeront un faisceau en involution.

En généralisant, nous trouverons ce théorème, cas particulier de celui de Desargues :

Si une conique est inscrite dans un quadrilatère, que par un point extérieur on mène deux tangentes à cette conique, et puis, qu^ on joigne ce point aux quatre sommets du quadrilatère^ on obtiendra un faisceau en involution (* ).

(') Le théorème sur le quadrilatère qu'on lit dans la Géométrie supérieure, p. 2.^)9, combiDé avec celui-ci, donne lieu à un troisième théorème.