SUR LA THEORIE DES FOYERS

5. Je citerai encore quelques théorèmes, conséquences immédiates des principes précédents :

I** Le lieu des centres des coniques tangentes à deux droites données et ajani un foyer fixe est une droite.

2** Une conique inscrite dans un angle étant donnée, le problème suivant : « (construire une conique tangente à la première et aux deux côtés de l'angle en deux points donnés, » est, en général, susceptible de deux solutions. Les deux points de contact cherchés et le sommet de l'angle sont en ligne droite.

3° Considérons trois coniques confocales, et, par un point pris dans le plan de ces coniques, menons six tangentes. Joignons les six points de contact au loyer commun, nous obtiendrons ainsi trois couples de droites ayant une bissectrice commune ; donc elles formeront un faisceau en involulion.

£n généralisant, nous aurons le théorème suivant :

Théorème. — Si trois coniques sont tangentes à deux

mêmes droites se coupant en P, et que, par un point pris

dans leur plan, on leur mène six tangentes; en joignant les

six points de contact au point P, on aura un faisceau en

involulion.

SLR

lA THÉORIE DES FOYERS,

Far m. Edmond LAGUERRE-VERLV.

Kléve de l'Institution Barbet.

Nouvelles Annales de Mathématiques; i85;{.

I. Considérons trois coniques ayant un même foyer F el, sur une droite arbitraire FZ passant parce foyer, prenons trois points A , BetC, correspondant respectivement au x trois coniques. Menons par chacun de ces points deux tangentes à la conique correspondante, et joignons les six points de contact au foyer : nous obtiendrons ainsi trois couples de droites ayant pour bissectrice commune la ligne FZ; donc ils formeront un faisceau en involution.

En généralisant par rhomograpliie celte propriété, nous obtiendrons le théorème suivant :

Théorème I. — Si trois coniques sont tangentes à deux m Ames droites se coupant en O, et que, sur une droite OZ passant par ce points on prenne trois points A, B, C correspondant aux trois coniques; si, par chacun de ces points, on mène des tangentes à la conique correspondante, en joignant les six points de contact ainsi obtenus au point O, on obtiendra un faisceau en involution.

Remarque, — Si les trois coniques se réduisent à une seule, on retombe sur la proposition suivante, due à M. Chasles :

Si trois cordes d^une conique se coupent en un même point,

NOTK SUR LA TIIKOIUE UKS FOYKHS. 7

les six points (/nielles interceptent sur laconique sont en involution; c^ est-à-dire qu*en joignant ces six points à un point quelconque de la conique, on a un faisceau en involution.

Si les Irois points .\, H et C se confondenl, on obtient le théorème énoncé t. XI, p. 292.

J'indiquerai encore les deux théorèmes suivants :

Théorème II. — 57 une conique variable est assujettie à rester tangente à deux droites fixes A et B, le lieu des pôles dUine droite D passant par le point de rencontre de A et de B par rapport à cette conique variable, est une droite H passant par ce même point de rencontre. Les quatre droites D, A, H, B forment un faisceau harmonique.

Théorème III. — Si trois coniques sont inscrites dans un même angle, et que, par un point pris dans leur plan, on leur mène six tangentes, les deux tangentes menées ii une même conique couperont la polaire du somm,et de l'angle, relativement à cette conique, en deux points; et si l'on joint au sommet de l'angle les six points de rencontre ainsi obtenus, on aura un faisceau en involution,

â. Coniques biconfocales. — Une conique ayant deux foj'ers fixes peut être considérée comme tangente à quatre droites fixes; les théorèmes relatifs aux coniques biconfocales peuvent donc être étendus aux coniques inscrites dans un même quadrilatère. Je citerai quelques exemples de cette transformation.

Soient trois coniques biconfocales; par un point extérieur menons-leur six tan^çentes. Ces tangentes auront deux à deux la même bissectrice; donc elles formeront un faisceau en involution. En généralisant par homographie, on obtiendra la proposition suivante, corrélative d'un théorème de M. Sturm :

Si trois coniques sont inscrites dans un même quadrilatère, et que, par un point pris dans leur plan^ on leur mène six tangentes, ces six tangentes formeront ^un faisceau en involution.

Le problème suivant : Construire une conique inscrite dans

un quadrilatère et passant par un point donné K^ a en général deux solutions.

Si au point A on mène les deux tangentes aux deux coniques satisfaisant à la question, et qu'on joigne ce poinl à deux sommets opposés du quadrilatère, on obtiendra un faisceau harmonique.

3. Considérons n coniques situées dans un même plan, les /\n foyers de ces coniques seront ^n sommets de n quadrilatères respectivement circonscrits à ces courbes, et les côtés opposés de ces quadrilatères convergeront tous vers deux mêmes points P et Q situés sur la droite de l^ infini ( * ).

Observation. — Chaque côté renferme un foyer réel et un foyer imaginaire.

Il suit de là que :

Si l'on transforme homo graphiquement n coniques situées dans un même plan, aux foyers de ces coniques correspondront les sommets de n quadrilatères respectivement circonscrits à ces coniques transformées^ et les côtés opposés de ces quadrilatères se Couperont en deux mêmes points P et Q situés sur la droite répondant homographiquement à celle de r infini.

Inversement, cette remarque peut servir à résoudre ce problème :

Deux points A c^ B étant pris dans le plan dUme conique, transformer la figure homographiquement^ en sorte que les points correspondant d A e^ B soient des foyers de la conique transformée.

On peut remarquer de plus que, si un cercle se trouve dans le plan des coniques données, il se transforme suivant une conique passant par les deux points fixes P et Q.

Comme application de ce principe, considérons trois coniques inscrites dans un même angle; si nous joignons le sommet de cet

(') Expression employée par M. Puncelet.