MÉMOIRE SUK LA GÉOMÉTRIE DE LA SPHERE
- Pour évaluer ces quantités, coupons le faisceau de droites isotropes par une droite quelconque qui les rencontre aux points a,
^, y et S. On aura (A, B, C, D) = -î, : ^> ou, en vertu de la formule donnée dans le numéro précédent,
ABC D)-^-^e^-^'
X^'^où les conclusions suivantes :
tant donnés quatre points réels d^un plan A, B, G, D, le féodale de leur rapport anharmonique (quantité essentielle-
A R C*VK
«iei:i t positive) est égal à -^^ : jrrzy et l'argument de ce rapport ^^^ l'angle ïQ) — i3Cb ou encore V angle ABCÎ — ADt;.
\emarque. — Il est évident que Targuinent est déterminé à un '^^•^Itiple près de ai:.
^ . Si Ton avait mené par les points A, B, C, D les droites iso-
pes du second système, le faisceau ainsi obtenu aurait eu pour
port anharmonique re"®'; je dirai, de deux rapports anliarmo-
**"*ues qui ont même module et qui ne diffèrent que par le signe
^ Targument, qu'ils sont improprement égaux,
Si quatre points sont situés sur un cercle (ou sur une droite), faisceaux, passant par ces points et chacun des ombilics, ont -me rapport anharmonique; le rapport anharmonique de ces atre points est donc réel. D*où cette conclusion :
Si quatre points dUin plan sont situés sur une même circonrence {ou sur une même droite), l'argument de leur rapport ^harmonique est un multiple de iz.
La réciproque est évidemment vraie.
Lorsque quatre points se trouvent ainsi sur une circonférence
V ^u sur une droite), le rapport anharmonique, tel que je Tai
défini dans le numéro précédent, a évidemment la même valeur que
' ^ rapport tel qu'on le définit habituellement. Il n'y a, par suite,
aucune ambiguïté à craindre dans Texteusion que j'ai donnée à lu
signification du mot rapport anharmonique.
356 (lÉOMKTRIE.
8. Etant donnés quatre points a, ^, y, o situés sur une droite réelle ou imaginaire, soient A A', BB', CC, DD' les segments représentatifs de ces points; de la définition que j'ai donnée ci-dessus, il résulte immédiatement que le rapport aniinrmonique des quatio points a, p, y, 2 est égal à celui des points A, B, G, D.
Il en est de même lorsque ces points sont situés sur une circonférence.
Ou peut donc énoncer la proposition suivante :
Si rjuati'e /joints sont situés sur une circonférence (ou une droite) réelle ou imaginaire y leur rapport an harmonique est égal au rapport anharmonique des quatre points réels qui sont 1rs origines des segments représentatifs de ces droites, ou bien encore au rapport anharmonique des quatre points réels qui en sont les extrémités.
9. Pour faire une application simple de cette proposition, je prendrai pour point du départ la propriété suivante, fondamentale diins la théorie des sections coni(iues : Etant donnée une conique tangente à quatre droites fixes, toute tangente à cette conique coupe les quatre tangentes fixes en quatre points dont le rapport anliarnioni<iue est constant ; ei je supposerai qu'une ou plusieurs de CCS droites deviennent imaginaires.
Coiisidcrons, par exemple, un triiingle circonscrit à une conique et ladioilc isotrope du pi eniier SNslrme issue d'un de sesfover>F, celle tiroile et les trois colés du lriaii|;le forment n\\ (|uadrilat('re cire ouscril à la conicpie. L ne tangenle mobile coupe les côt<'*s du Iriaugle aux poiiils a, jii, y et la droite ixilrope en un point imaginaire repiéseiité par nu -cgmenl dont l'origine est le point F. Oïi en conclut que le rapport .inliarmoni(|ue des quatre points a, jj, v et V demeure conslaul, l(ns(|ue la tangente mobile se déplace. Par siiile des ("ormules données (n' 0), on a donc
l'oil
--' * = cou^t. et iV 'i — av'j = con>t
\\\ premier abord, on pourrait croire (]ue Tauj^Ie aF3 est con
3IÈM01HK SUR LA GÉOMÉTRIE DK LA SIMIKHK. 357
stant, pui.sque les poinïs a, p, y sont en ligne droite; mais il faut
mTiar<|ner que, d'après nos conventions (n" 4), ay^ est égal à o on à —, suivant que le point v est en dehors du segment aj3 ou dans
l'intérieur de ce segment; Tanglc aF^ ptMil donc varier d'une demi -circonférence.
Quant à Tangle des deux droites Fa et F^ (ces droites étant considérées indépendamment de leur direction), il demeure constant.
Considérons encore une droite T tangente à une conique, les deux tangentes isotropes issues du foyer F, et la tangente isotrope du second système issue du foyer G; ces quatre droites forment un quadrilatère circonscrit à la conique. Soit T' une tangente quelconque à cette conique rencontrant la tangente fixe en a; elle coupe les droites isotropes du premier système issues des foyers en des points imaginaires dont les segments ont pour origine ces foyers eux-mêmes, et 1 1 droite isotrope du second système issue du foyer F en un point représenté par un segment dont l'extrémité est en F; I origine de ce segment est donc le point F' symétrique de F par rapport à la tangente mobile.
D'où l'on voit que le rapport anharmonique des quatre points a, F, F' et G demeure constant, lorsque la tangente mobile se déplace. On d>^;duit de là les relations suivantes entre les divers éléments du quadrilatère F F' a G :
faè— prà = consl., fCo — f^ -^ conM.,
aF'__ FOI' =consl., FGa — FF'a =consl., (»),
Gi.FF' Ga.FF'
1^^ — j:^-=r, = const., rt7 t7' = consi.
I* a. G F Gr . r a
^i l'on remarque que FG est constant et que F'a = Fa, les deux cJernières égi^lités donneront
Fa FF'- ronst. X j^r- Cl GF'=con5t.
Ga
D'où l'on déduit, en particulier, cette propriété bien connue que
(') II esl presque inutile de faire remarquer que ces diverses relations se reluisent à deux reialioiis distinctes.
inférence de cercle ayanl P
le lieu (lu point F' csL ii:
ccnlre le fojor G.
10. Jiî 11*; inVacncIriii pns davantage sur les nombreuses relat • mtjtrirjncs (|iie l'on peut di'doiic de ta proposîlion fondamenlal ^ la llu^oric des coni([iiorî cl qii'clln renrrrinc ainsi comme cas f^^^ t l'eu lie r.i.
Je ferai .«euicmcnt l'ohservnlton suivante : liien que, daos Ihron'mcs que nous obleiinns ainsi, les éléments de la fig^^-* soient essenticlletneiil supposas réels {en vertu même du mode dénionslnilion), ils n'en soni pas moins vrais <lans toute 1^^* géiiéralilé; rien n'cmpikhe donc, dansées nouvelles propositior^* ' de supposer »]ui' certains éléments deviennent imaginaires et d'^^^ déd.iin^ de nouvelles relations (M.
(' ) En pi'ni^ral. quanri Jnns une tlRiirv ccrlains i'ii-mcnt) deviennent îma^^ n.iires, t«iit<> ri'Ni.ion reinlive i cette li);irre itonne ilriix rclatiun», en mrtlant c ■ ■ïtiilcnri' lit piii-.îe rrctie et ta partie imaginaire. U'iiae proposition donnée o' ildiltiil il«nr cl('ii\ .intrei propoMl ions généralement distinctes.
Il peut an! ver nilanmoini qu'elles M^ confondent, nu que Tune des deux exprima une simple idenlitc'-, on liien cnrore que l'une d'cnire elles serve seLleraent i tere^ une amliipifié et 1 lîxer le signe dont unr quantité doii tire alTeetfe.
fjomnie eiemple de ce dernier ras je pn-ndrai la proposition suivante :
IX deux Joyert imagiibi. b déiigitanl la lon-
Im iommr den diflancex d'un point d'unt ellipie a nairei tituet tiir le pelil are em constante et égale à pueur du /letîf axe.
Au sujci de rc tliêorùme je ferai iibserver que les dislanees dont il s'agit étant comptée* sur des ■Ir"ite!i ditTércnies, il e>t impossible a priori àe lîier leor ralenr. En désignant done p.ir ? et t le» dcu» fojtrs imaginaires de l'ellipse et par M? et My deux quelconques des valeurs dont sont susceptibles les distances du point M de l'ellipse aui foyers s et v. le tliéorcme prériïdent s'exprime par l'égalité suivante :
i.Mf + n.Mr =
■ «t i| ëtaat dci cnostantes dont ta valeur est 4- 1 ou — 1 . PwGdédgaant les dEDxrojcrs réels de l'ellipse, 00 a 7 = (F, G) et r = (G, F): respective ment pour segments reprësentalils les
r/, d'aprisia rormule donnée an n* 7, on a, l déaii ao droit, que (ait avec la normale MTi chaean
MÉMOIRE SUR LA OÉOMKTRIE DE LA SPHERE. HSg
H. Soient deux faisceaux homographiques de droites isotropes du premier système; le premier de ces faisceaux est dëlcrroinë par le système S des points rëels A, B, C, ... situés sur les rayons qui le composent; le second est également déterminé par un système S
de points réels A', B', C,
Cela posé, il résuite immédiatement de cette définition que le l'apport anharmonique de quatre points quelconques du système S est proprement égal au rapport anharmonique des quaire points correspondants du système S'. Je dirai que ces "^"x systèmes sont proprement anharmoniques.
Soient un faisceau de droites isotropes du premier système
"élerminé par un système S de points réels A, B, C, ..., et un
laisceau homographique de droites isotropes du deuxième système
uélerminé par un système S' de points réels A', B', C, ... ; on voit
immédiatement que le rapport anharmonique de quatre points
Ç^^^iconques du système S est improprement égal au rapport
^ ^ ^cirmonique des quatre points correspondants du système S'.
J^ dirai que ces deux systèmes sont improprement anharmo-
^iq€€es.
Lorsqu'on transforme une figure S par rayons vecteurs récipro-
1*^^s, la transformée est improprement anharmonique à S; en
sorte que, quel que soit le nombre des transformations analogues
^^e l'on opère, la figure transformée sera toujours proprement ou
^'■ï* proprement anharmonique à la figure primitive, suivant que le
ïï^nnbre des transformations sera pair ou impair.
^^ déduit de \k
v/MF.MG(«e-^'-f. T.t^) = 26/,
®^> en égalant de part el d*autre les parties réelles et les parties imaginaires,
/MF.MG(6-+-Tr^) co8X = o, v/MF7mG(ti — e) «sinX = 2bu
La première équation montre que Ton a e = — r,; portant cette valeur dans la seconde équation et élevant au carré, après avoir supprimé le facteur — 4^ il ▼ieot:
MFsinX.MGsinX = A',
OQ bien FP.GQ = 6^, en désignant par P et Q les pieds des perpendiculaires ibiîsiéct des foyers sur la tangente en M.
3f)0 OÊOMÉTRIK.
12. De la notion ^qiil précède résulte îmmédialemenl la proposition suivante :
Si, sur une droite (ou un cercle) réelle ou imaginaire, ona une série de points représentés par des segments dont les origines forment un polygone P; si, sur une autre droite {ou «^ autre cercle)^ on a une série homo graphique de points vep^^' sentes par des segments dont les origines forment un /'^v gone P', les deux polygones P et V sont proprement anha^'^ niques.
Pour faire une application de celle proposition, considé^ une conique réelle K et une droite imaginaire a tangente à c courbe, que, par suite, louchera également la droite a' imagina ment conjuguée de la première. Une droite réelle mobile tange à K rencontre a en un point (A, A'), et a' au point imaginairem conjugué (A', A).
l*endanl le déplacement de la tangente, le point ( A, A') se m sur une droite; donc la figure (A), décrite par l<» point A, semblable à la figure (A'), décrite parle point A', et inverscme^placée, et les deux figures sont improprement anharmonique^^ D'autre j)arl, en vertu de cette propriété fondamentale des coni^ ques que la tangente détermine sur a et a' des divisions homogra^ pliiques, les figures (A) et (A') sont proprement anharmoniques il en résulte (n** 8) que les courbes (A) et (A') sont toutes deur des cercles.
D'où les conclusions suivantes :
Quatre droites réelles tangentes à une conique réelle coupent une droite imaginaire quelconque tangente â cette conique en quatre points représentés par des segments dont les oriirines sont situées sur une même circonférence.
Si un point mobile M décrit une circonférence, tandis qu'un autre point M' décrit une autre circonférence en sens im^erse et dans le même temps, le point milieu 1 de la corde MM' décrit une conique et la droite menée en 1 perpendiculairement à la corde enveloppe une autre conique,
13. Tous les théorèmes relatifs à la division homograpJii(|ue
MEMOIRE SUR LA GÉOMÉTRIE DE LA SPHÈRE. 36l
sur une même droite ou sur des droites dilTérenles donnent évidemment Jieu à aillant de théorèmes correspondants relatifs à deux systèmes de points proprement anharmoniques ; pour les développer, je n'aurais qu'à transcrire ici plusieurs chapitres de la Géométrie supérieure et des Sections coniques de M. Chasles. J éviterai au lecteur la peine de relire, sous une autre forme, des propt jsitions bien connues et les emploierai, dans la suite de ce ^léiiioîre, toutes les fois qu'elles me seront utiles, sans enirer dans plus de détails à ce sujet.
^^ ferai cependant la remarque suivante, à cause de son fréquent
^nnploî. On connaît (Sections coniques, p. 99) le théorème suivant -
* i'on a, sur une droite, une série de points en involution, ^^ <^onjugués harmoniques dUin point P quelconque de cette ^**^*^^, relatifs aux couples de points de V imolution, déter- ^ ^ ^^ ^ ^^t une série de points ( P); à un autre point P' de la droite
^'^^'^/yond une autre série (!'); les deux divisions (P) et (P')
^ ^è^omof^ra plaques,
^^vi celle conséquence pour une ri<;;ure plane :
\nt donnée dans un plan une figure en im'olution (*), les
M , -^ ^^ gués harmoniques d^un point quelconque P du plan
^^^^ ruinant une figure (P); à un autre point V correspond
^^ ^^utre figure (P') ; les deux figures (P) et (P') sont propre-
^^ ^ anharmoniques.
^^ ppellerai courbe en involution une courbe dont les points ^ '^''Cînt se grouper deux à deux, de telle sorle que deu\ points
I ^J Mgués M et M' fassent partie d'un système de points en invo- ■^^^n. On déduit alors de ce qui précède la proposition suivante :
^*^ / l^on prend successivement les points conjugués harmo- ^f€es de divers points du plan par rapport aux couples de
- >^ ) Par la propriété fondamcnlalo de riiivolulion, on voii que A cl A' élanl ^^x poiiiis conjugués, ces deux points et les deuv points doubles I* et Q sont ^^lés sur un même cercle; de plus, les quatre points A, A', P et Q ((•ilerminent ^ï* ce cercle une division harmonique.
36a OÉOMÈTRIE.
pbinis conjugués d'une courbe en im^oluiion, les diverse' courbes ainsi obtenues sont proprement anharmoniques.
Ed pariiculier, si, pour un point du plan, la courbe est cercle, elle sera également un cercle pour tout aulre point; ains le lieu des points milieux des cordes joignant les points conjuguéi est un cercle. La courbe en invointion qui jouit de cette propriét est par là même complètement définie, et je Tai déjà étudiée dan une Note Sur les cassiniennes publiée dans le Bulletin de Icc:^ Société phi/omathique (mars 1868). Ses nombreuses propriétés se déduisent du reste avec la plus grande facilité, en employant les considérations qui précèdent, des simples et élégantes relations données par M. Chasies dans sa Géométrie supérieure, relativement à un sj'stème de segments en involuhon et aux milieux de ces segments.
14. Soient (A) et (A') deux systèmes de points improprement enharmoniques, le faisceau déterminé par le système (A) et Tombilic I et le faisceau déterminé par le second système et Tombilic J sont homographiques ; par suite, tous les points imaginaires (A, A') sont situés sur un même cercle. D*où cette conclusion :
Si deux systèmes de points (A) et (A') sont improprement anharmoniques, tous les points imaginaires (A, A') sont situés sur un même cercle.
Réciproquement :
Si un certain nombre de points (A, A'), (B, B'), . . . sont situés sur un même cercle, /es deux systèmes de points A, B, ... et A', B', . . . sont improprement anharmoniques.
