DONT ON PEUT INTÉGRER LES LIGNES GÉODÉSIQUES

Bulletin de la Société mathématique de France; 1873.

Si Ton considère les surfaces pour lesquelles I^élément de longueur est donné parla formule

, , rfw» dv'^

ds*= 1 >

on vérifie aisément que leurs lignes géodésiques sont données par réqnalioD

cos'i sin'e

H — — r = consi.,

i désignant l'angle que fail la ligne géodésique avec la courbe i^ = consl.

SUR LES NORMALES

ABAISSÉES d'un POINT DONNÉ

SUU UNE SUllFACE DU SECOND ORDRK,

Compter rendus des séances de l* Académie des Sciences; 1874.

1. Ëlant données une surface du second ordre et une coDi(|ue située sur celle surface, îl semble, au premier abord, que l'on puisse toujours déterminer trois points de cetle conique, de telle façon que les normales, menées à la surface en ces points, se coupent en un même point; le nombre des équations de condition auxquelles on doit satisfaire est en effet égal au nombre des constantes arbitraires dont on peut disposer.

]l est remarquable que les coniques jouissant de la propriété que je viens d'énoncer ne puissent être arbitrairement choisies, et que leurs plans enveloppent une surface de quali ième classe 2.

Réciproquement, étant donné un plan quelconque FI tangent à 2, il lui correspond une droite A, dont voici la propriété principale :

Si dUin point M, pris arbitrairement sur A, on mène des normales à la surface du second ordre ^ trois des pieds de ces normales dècriK^ent la conique de cette surface située dans le plan II, et les côtés du triangle dont ils constituent les sommets em^eloppent une autre conique, les pieds des trois autres normales décrivant une conique située dans un second plan W tangent à 2.

Je dirai que les plans II et II' sont deux plans conjugués de la surface 2, et que la droite A lui est associée.