SURFACES DU SECOND ORDRE

Bulletin de la Société mathématique de France, 1876.

* • Soient A une surface du second ordre elK l'une quelconque oc Ses lignes de courbure. On peut faire passer parK une infmllé de Siirfaces du second ordre 5 soit A' l'une quelconque d'entre elles, ^la posé :

La surface développable, circonscrite à h, et A', touche A sui- ^Qnt une de ses lignes de courbure.

En d'autres termes :

Étant donné un plan tangent quelconque à la surjace A qui la touche au point M, on peut, par K, mener deux autres surfaces du second ordre qui touchent le plan; si l^on désigne par \eth leurs points de contact, les droites MA et MB sont les tangentes aux lignes de courbure de A qui se croisent au point M.

2. Les sur/aces quadricuspidaleSj étudiées par M. de la Gouinerie, jouissent de propriétés analogues à celles des surfaces du second ordre A'. -

Si, par la biquadratique K, on mène une quadricuspidale quelconque, la surface déi^eloppable circonscrite à K i^t à la quadricuspidale touche A suivant une de ses lignes de courbure.

SUR LE LIEU DES POINTS TELS, QUE LES TANGENTES MENÉES DE CES POINTS A DEUX COURBES PLANES SOIENT ÉGALES ENTRE ELLES.

Bulletin de la Société mathématique de France, 1877.

i. Soient S cl S' deux courbes planes, met /n' deux points situés respectivement sur ces courbes et tels que, les tangentes menées en ces points se coupant en /, on ait mt = m' t.

Pour déterminer le lieu du point ^, je m'appuierai sur le lemme suivant, dont Tévidence est immédiate :

Si Von fait la perspective stéréo graphique des courbes S et S' sur une sphère, en appelant O le centre de la projection, S et 2' les courbes perspectives de S et de S', [x et p' les points correspondant à m et m', les tangentes menées en ix et {jl' aux courbes S et S' se rencontrent en un point de V espace S qui est situé sur le rayon Ot.

La réciproque est évidemment vraie.

2. De ce lemme résulte immédiatement la construction suivante du lieu des points t.

Faisons, sur une sphère quelconque, la perspective stércographique des courbes données S et S' et imaginons les deux surfaces développables qui ont pour arêtes de rebroussement les deux courbes perspectives S et S'. Ces deux surfaces se coupent suivant une courbe gauche K; imaginons maintenant le cône ayant pour base K et pour sommet le centre O de la perspective : ce cône couperh le plan de S et de S' suivant le lieu cherché.

3. Etant donnée une courbe plane S, on peut se proposer de déterminer une courbe T telle que deux des tangent^es que l'on