TRAGBE SUR UNE SURFACE DU SECOND ORDRE

Bulletin de la Société mathématique de France; 1875-1876.

\ . Considérons une courbe gauche quelconque rapportée à Irois axes rectangulaires cl dont les équations soient J7 = X, y =zYf js s= Z, X, Y et Z étant trois fondions données d'une même variable indépendante t. En chaque point m de cette ligne, menons une droite m [x normale à cette courbe et dont la longueur, ainsi que la direction, soient fixées à chaque instant par la valeur de la variable t correspondant au point m. Projetons ensuite sur la corde mm! les segments normaux m jjl et m' [jl menés respectivement par les extrémités de cette corde ; je me propose d'abord d'évaluer la somme algébrique de ces projections.

En désignant par <o cette somme, par A, B, G les dérivées de X, Y, Z par rapport à ^ et par L, M, N les projections sur les axes du segment mpi, on a évidemment

MM . (u = > [dx-\ 1 • • • ) ( 21 L -+- c^L H • • •

^ÊÉ \ 1.2 I . s>. . 3 / \ I . Jt /

V^/, ^ Mdt^ ydt^ \/ , ,, d^h \

4Ld \ I . '2 1.2.3 / \ 1.2 /

Je poserai, pour abréger, (i) MM'.<D = P, h Pj ^ -h... H -h...,

^ ^ 1.2 1.2.3 1.2. ..(/l-hl)

le coefficient de dt étant nul dans ce développement, en vertu de

l'équation SAL courbe.

OéoXÉTRIE.

o, qui exprime que le segment est Dormal à U

i-.tOiV

2. Des considéralions très simples montrent im média teID^I^^ que chaque coefficient d'ordre pair P2rt s'exprime linéairement- i^^ moyen des coefficients d'ordre inférieur et de leurs dérivées ^ s'annule donc en même temps que ces derniers; par suite, la f^ mule (i) montre que (onc peut être qu'un infiniment petit d'orc impair,

Pi et P2 étant identiquement nuls, on voit que généralemen quantité to sera du troisième ordre; si elle est d'un ordre su rieur, elle sera du cinquième ordre et l'équation suivante devra ê satisfaite :

Si elle est d'un ordre supérieur au cinquième, elle sera du tième, avec la condition suivante :

SA'^L-+-5SA''L-+-ioi:A'L'=o.

Enfin, si elle est d'un ordre supérieur au septième, elle si identiquement nulle, avec la condition

2A^'L-+-72A^L'-+-2i2A»^L'-+-35SA''L"=o,

et alors la courbe /?OMrra être placée sur une sur/ace du seco ordre.

3. Si l'on se propose, étant donnée une courbe, de trouver système de segments normaux ayant cette courbe pour base et K que (o soit une quantité infiniment petite du septième ordre» devra déterminer les segments par les équations (a) et (3).

Je les transformerai d'abord en définissant, en chaque poia^ la courbe, le segment normal par ses deux projections U et W la normale principale et sur la binormale en ce point. En design ^* suivant l'usage habituel, par p et par r le rayon de courbure ^^ rayon de torsion de la courbe au point considéré^ et en pref^^ l'arc s comme variable indépendante, les formules (2) et (3 ^ mettront facilement, au moyen des formules de M. Serret, sou^

ftjr

le

ni

se h

SDR LES COURBES OADCBES. 44?

toxane suivante :

En éliminant W entre les deux équations précédentes, on obtiendra une équation linéaire et du troisième ordre pour déterminer U; on voit donc que, la courbe étant donnée, le problème qne je m'étais proposé a une infinité de solutions, qui toutes peuvent se déduire de trois solutions indépendantes, conséquence à laquelle quelques propositions géométriques très simples conduiraient directement.

4. Laissant de côté ces considérations générales, ainsi que les conséquences qui en découlent relativement aux équations différentielles (entre r, p et s) qui définissent les courbes que Ton peut tracer sur une surface de second ordre, les biquadratiques gauches (par lesquelles on peut faire passer une infinité simple de surfaces du second ordre), et les cubiques gauches (par lesquelles on peut faire passer une infinité double de surfaces du second ordre), je vais rechercher quelles sont les courbes que Ton peut prendre comme base de segments normaux dirigés suivant les normales principales de la courbe et jouissant de la propriété que o) soit du septième ordre.

On devra, dans les équations précédentes, poser W = o; Téqualion (a') s'intègre alors immédiatement et donne

U = atp», a désignant une constante arbitraire. Portons cette valeur de U

448 OéOMÉTRIE.

dans Féquation (3'); il vient, toutes réductions faites,

Il est remarquable que cette équation puisse s'intégrer s établir aucune relation entre p et r; si on l'intègre en eflet en c

sidérant - comme la fonction inconnue (ce qui ne présente aucw

difficulté), on trouve que la quantité sous le signe / est une difle rentielle exacte, et l'on obtient l'intégrale suivante :

c désignant une constante arbitraire.

Telle est la relation qui doit exister entre la torsion et la courbure d'une courbe pour qu'elle jouisse de la propriété énoncée ci-dessus.

o. En particulier, on peut remarquer que, si une ligne géodésique est Iracce sur une surface du second ordre quelconque, en portant en chaque point de la courbe sur la normale principale

une longueur proportionnelle à Ç/p, les segments ainsi obtenus jouissent de la propriété que la somme algébrique des projections de deux dVnlre eux, sur la corde qui joint leurs pieds, est identiquement nulle; la quantité que j'ai appelée w étant nulle, on voit qu'en chaque point d^ine telle ligne géodésique la torsion est donnée par la relation (6), la constante C ayant une valeur convenablement déterminée.