Je m'appuîeraî sur les deux propositions suivantes

Théorème I. — Si Von considère trois des normales que l'on peut mener d'un point M à une conique, la droite qui joint le point M au centre du cercle circonscrit aux trois pieds de ces normales a pour conjuguée harmonique, relativement à ces trois normales, la quatrième normale, que l'on peut mener du point M à la courbe.

Théorème IL — Si Von désigne par a, 6, c, d les pieds des normales que Von peut mener d^un point M à une conique, et par h.^ B, C, D les centres des cercles circonscrits aux triangles bcd, cda^ dab et abcj les droites menées respectivement par ces points parallèlement aux normales Ma, M 6, Me et Mrf se coupent en un même point [jl.

Ce point est situé sur la droite qui /oint le point M au centre de la conique, de Vautre côté' de ce centre et à une distance moitié moindre.

En conservant les notations précédentes, on déduit du théorème I que la droite MA est l'une des deux droites qui constituent la polaire conique de Ma relativement aux droites M 6, Me et Mrf.

Déterminons les directions des quatre normales par des paramètres qui soient les racines de l'équation du quatrième degré

U = ax^-{- .\bx^y -h Gcar*^*-+- ^dxy^-^ ey''\

en désignant par H el S le hessien et Tinvariant quadratique de U| on obtiendra la proposition suivante :

JLes directions des quatre droites MA, MB, MC, MD sont déterminées par les racines de latine des équations suii'antes :

H-+-l/|u = o et n-4/-J.U=o,

2- Tbéorème III. — Si l'on mène par le point M deux pa- ^ci listes aux axes de la conique et si Von joint ce point au certiw^^ de cette conique^ les trois droites ainsi obtenues jouis^ sene ^e la propriété suivante : la conjuguée harmonique de ^ uri^ quelconque d'entre elles, relativement aux deux autres^ ^^ <^owïfond avec la conjuguée harmonique de la même droite ^^^^^^ivement au faisceau des normales passant par le point M.

A.o.aljliquement, si ~ est le paramètre définissant une quel-

concjtie des directions dont je viens de parler, les directions des ^'^ X. autres sont déterminées par les racines de l'équation

-irri^{cx^-Jridxy-^ey^)ûii/ :^(xri—y\)'i = o, dical étant pris avec un signe convenable.

ox^

«. Étant données quatre droites passant par un même point M,.

leutse proposer de déterminer les coniques qui coupent ortho-

ileraent ces quatre droites. Laissant de côlé les cercles ayant

*^ ^* T centre le point M, on voit qu'il y a encore une infinité de

^-^tions; le problème sera complètement déterminé, si l'on assu-

^^t les coniques à passer par un point donné sur Tune des droites

â toute autre condition analogue.

^IDn trouve alors quatre solutions, et le problème peut se résoudre ^ miojen de la règle et du compas.

Si l'on veut, en effet, chercher le lieu des centres des coniques ^isfaisant à la question, on voit qu'il se compose de droites dont

** directions sont déterminées par les valeurs de —> pour les-

454 oéoxÉTRiE.

quelles les racines de l'équation (i) en (Ç, tj) correspondent à deux directions rectangulaires. Si l'on représente par

l'équation correspondant aux directions parallèles aux asymptotes du cercle, les directions des droites, qui joignent M aux centres des coniques satisfaisant à la question, correspondront aux racines de l'équation

[(a Y — 26p-+-ca)r«-+-2(6Y— 2cp-+-cfa)irj^H-(cY — arf^-H ««)>'*]*

équation du quatrième degré, résoluble par l'extraction de simples racines carrées.

4. Géométriquement, le problème proposé peut se résoudre de la façon suivante : menons un cercle quelconque passant par M et coupant les normales données en a^ 6, c, d\ appelons A, K, C, D les tangentes menées au cercle par ces points. On peut construire deux coniques tangentes à ces quatre droites, et telles qu'on puisse circonscrire à chacune d'elles un triangle ajantses sommets sur la conique donnée. Soit K l'une de ces coniques; on la déterminera de la façon suivante : construisons les deux droites qui constituent la conique polaire de Oa par rapport au faisceau 06, Oc, Orf; choisissons arbitrairement l'une de ces droites, et soit a le point où elle coupe le cercle. Cela posé, la conique K sera déterminée par cinq tangentes, qui seront A, B, G, D et la droite oa. Par le centre du cercle, nous pourrons mener deux tangentes à la conique ainsi définie. Soient p ^l q les points où l'une de ces tangentes coupe le cercle; construisons le troisième sommet r du triangle circonscrit à K, inscrit dans le cercle et ayant pour côté le segment /;/jr. Ces constructions peuvent évidemment s'efFectuer sans tracer la conique K.

Si alors, par le point r, on mène des parallèles aux droites rectangulaires M/> et M^, on pourra construire une conique ajant pour axes ces parallèles et normale aux quatre droites.

On obtiendra ainsi, au moyen de la règle et du compas, les quatre solutions du problème.

Je ferai observer, en terminant, que les qiialre droites, qui joignent au point M les points d'intersection du cercle et de K, contiennent les centres des cercles circonscrits aux divers triangles Jéternninés par les pieds des quatre normales.

SUR LES NORMALES

QUE l'on peut mener