D'UN POINT DONNÉ A UNE CONIQUE
Bulletin de la Société mathématique de France, 1877.
1. Je m^appuierai sur le beau théorème suivant, dû à M. Liou ville (*):
Si, aux quatre points dUntersection d^un cercle et dUine conique, on mène des normales à la conique, et si, par le centre du cercle, on mène une sécante quelconque, le centre harmonique du centre du cercle, par rapport aux quatre points où la sécante coupe les normales, est situé à V infini.
Considérons maintenant (^) les quatre normales Ma, Mfc, Me et Mr/, que d'un point M on peut abaisser sur une conique donnée. Désignons par A le centre du cercle qui passe par les pieds fc, r, d de trois de ces normales, déterminons le point M' symétrique du point M par rapport au centre O de la conique, et par ce point menons une parallèle Ma' à la normale Ma. Puisque OM' = OM, il est clair que a et ol sont deux points diamétralement opposés de la conique, et, d'après une élégante proposition due à Joachimsthal, on sait que les quatre points a', fc, c, d sont situés sur un même cercle.
Par suite, d'après le théorème de M. Liouvillc, si l'on mène par
( * ) Mémoire sur quelques 'propositions générales de Géométrie et sur la théorie de l'élimination {^Journal de Mathématiques, l. VI, !'• série, p. 4o3). (M Le lecteur est prié de faire la figure.
le point A une sécante quelconque, le conjugué harmonique. de A /)âr rapport aux quatre points où la sécante coupe les droites M'a', Mb, Me, Md est situé à Tinfini.
Considérons, en particulier, la sécante Ajji parallèle à M'a' et par conséquent à Ma, le point de rencontre avec M'a' étant rejeté à l'infini, on en déduit immédiatement que Ma est la conjuguée harmonique de MA relativement au faisceau des normales M6, Afo, Md.
Supposons maintenant que la sécante passe par le point M, on
d'où il suit
Xa "^ AM ~ ^'
ons par le point A une parallèle à Ma, et soit tji le point où
^^^t.« parallèle coupe le diamètre OM; le point iji décrira le seg-
'•^^xi^tMM' dans le rapport de 3 à i. On voit donc qu'il est situé
**^*^ le prolongement du rayon MO et à une distance du centre
S^le à la moitié de ce rayon; ce point sera d'ailleurs le même,
*I^^^He que soit celle des quatre normales que l'on considère.
^n peut donc énoncer les propositions suivantes :
HÉOREME I. — Sî Von considère trois des normales que Pon tt mener d^un point M à une conique, la droite qui joint le d^t M au centre du cercle circonscrit aux trois pieds de ces "^males a pour conjuguée harmonique, relativement à ces 4s normales, la quatrième normale que l'on peut mener du ^nt M à la courbe.
^TThéorème 11. — Si Ton désigne par a, b, c, d les pieds des
"^^itre normales que l^on peut mener d^un point M à une co-
'^ue, et par A, B, C, D les centres des cercles circonscrits aux
^^ngles bcd^ cda, dab et abc, les droites menées respective ment
r ces points, parallèlement aux normalesMa, M6, Me et Mrf,
coupent en un même point [jl.
Ce point est situé sur la droite qui joint le point M au centre ? la conique, de Vautre côté de ce centre et à une distance oitié moindre.
2. Il résulte de là que, sî Ton considère Tune quelconqu^^^ des normales Ma que Ton peut mener par le point M, la droite MA
qui joint ce point au centre du cercle circonscrit au triangle Ici
est r///2(? des deux droites qui constituent la polaire conique Am^ — eM^ relativement au faisceau M6, Me, Me/.
Par suite, si Ton détermine pour chacune des normales sa polaire conique par rapport aux trois autres, on obtiendra huit dr ^^ohes sur lesquelles se trouveront les quatre centres A, B, C et EI^ des cercles circonscrits.
Soit
U = ax^-h ^bx^y -+■ Gcx^y^-^ ^dx^~\- ey^= o
une équation du quatrième degré dont les racines déterminent directions des quatre normales issues du point M, et a unerac/' de cette équation déterminant une des normales. Les directio des trois autres seront données par l'équation
les nc
et la polaire conique de la première normale, par rapport aux Irois^ autres, par l'équation
af 3a j-'-t- a(46-f- aoi) xy -^. . .]-^ [{ \b -»r aaL)x^-^. . .] =r o.
Pour obtenir réqualion délcrminant les huit droites dont j'ai parlé plus haut, il faut éliminer a entre cette relation et la relation U(a, i) = o; comme, d'ailleurs, le résultat doit être un covariaiil de U, nous n'avons besoin que de calculer le terme du degré plus élevé. Nous ferons donc ^ =: o, et il restera à éliminer a entre les équations aa -[- 6 = oet U(a, i)= o; le résultant, multiplié par x', devient
Si donc on désigne par H le hessien de U, et par S son invariant quadratique, l'équation (|ui détermine les huit droites est
SU»— 3H2=^o.
Cette équation se décompose en deux autres
H+1/-3U-0 et H-t/Ju=o.
is
Comme je le montrerai plus loin, le faisceau des quatre droites iMA, MB, MC et MD est déterminé par Tune de ces équations.
3. Théorème III. — Si Von joint le point M au centre O de laconique, et si, par le même point , on mène des parallèlesMX. et MY aux axes de cette conique, les trois droites ainsi obtenues jouissent de la propriété suivante :
La conjuguée harmonique de chacune d'elles, par rapport au faisceau des normales issu du point M, se conjond avec sa conjuguée harmonique relativement aux deux autres droites,
La vériGcation de ce théorème se fait très simplement en remarquant que, si Ton rapporte la conique à ses axes, Inéquation qui donne les coefficients angulaires de normales issues du point (^,1^) est
4. Soit, comme précédemment, U = o Téquation qui détermine les directions des quatre normales issues du point M; pour abréger, je dirai simplement que c^est Téqualion de ces normales, et je me servirai d'une expression semblable pour les autres systèmes de droites que j'aurai à considérer. Soit, de plus,
Téquation de deux quelconques des trois droites MO, MX et MY. Le théorème précédent montre qu*un certain invariant des formes tt et U doit être nul; pour calculer cet invariant, je supposerai la forme U réduite à sa forme canonique, en posant a = y = o, et les deux droites auront simplement pour équation xy = o ; soit, de plus, xr^ — y\ = o Téquation de la troisième droite.
Les conjuguées harmoniques de j? = o, relativement à U = o et Y{xr^ — y^) = o, sont respectivement
dx-^ey et arij — a^-Ç;
d*après le théorème précédent, on a donc
arfj-herj = o.
De même, les conjagaées harmoniques de^=o, relativement à
46o GÉOMÉTRIE.
U =1 o et X (x7i — yli) = o, sont respectivement
ax-^-by et axr^ — y\\
on a donc également
a^ -h iÔYj = o.
Eliminant i et tj entre les relations précédentes, il vient
ae — ibd = o.
Écrivons maintenant la relation suivante :
où, comme on le voit, le premier membre ne renferme que Jcs invariants de U et de w (*). D'ailleurs, quand on y fait a = Y^^» celte relation se réduit à la relation ae — 4^rf=o> que nous menons de trouver. On peut donc énoncer la proposition suivante*.
Si Von désigne rcspectii'emeni par u z=zo et U = o les équations des quatre normales issues du point M et de deux quelconques des droites OM, OX etOY, les invariants des/ormesu et U sont reliés par la relation (i).
5. Désignons par «^ et - les paramètres qui Gxent les directions
de deux quelconques des droites OM, OX etOY; on pourra poseï
évidemment
et, en portant ces valeurs dans Téquation (i), on obtiendra la re lation suivante :
( Ç*(aa:*-+- 7.bxy -4-cj'*) 4- 2Jtj(^^*-h icxy -¥- dy^) (2) /S
