THÉORIE DES COURBES ET DES SURFACES AXALLIGMATIQUES

Bulletin de la Société philomathique ; 1868.

1. Avaul d'aborder ce qui est relalii aux anallagmatiques, je m'occuperai d'abord du lieu décrit par le sommet d'un angle de grandeur donnée dont les côtés s^appulent respectivement sur deux courbes fixes. Je dirai d'abord ce que l'on doit entendre par angle de deux droites, lorsque le sens dans lequel doivent être prises ces droites n'est pas déterminé. Etant données deux droites A et B, faisons tourner la première autour de leur point de renconlre, et dans un sens déterminé, par exemple celui des aiguilles d*une montre, jusqu'à ce que cette droite s'applique sur B; je dirai que l'angle ainsi décrit est l'angle que fait la droite A avec la droite B, Si l'on continuait le mouvement de rotation, après avoir décrit un angle égal à 7t, A viendrait de nouveau s'appliquer sur B. L'angle que fait A avec B n'est donc déterminé qu'à un multiple près de Ti; sa tangente est déterminée, mais son sinus et son cosinus ne le sont pas; le double de cet angle est déterminé à un multiple près de 27r, et les valeurs de toutes ces lignes trigonométriques sont parfaitement connues.

Ces définitions étant établies, étant donnés dans un plan deux points fixes A et B, si l'on cherche dans ce plan le lieu du point M, tel que l'angle de* MA avec MB ait une valeur donnée (à un multiple près de tz, nécessairement), l'on trouvera pour ce lieu un cercle, passant par les points A et B, et tous les points de ce cercle feront partie du lieu. Le cercle symétrique du précédent

SUR QUELQUES PROPRiiTÉS DES COURBES ALOÉBRIQUEB. 65

serait le lieu des points M, pour lesquels Tangle de MA avec MB aurait une valeur supplémentaire de la valeur donnée précédemment.

2. Ceci posé, cherchons le centre du cercle, lieu des points M tels que Tangle que fait MA avec MB ait une valeur donnée lo. Ce centre est \e/oj'er singulier de la courbe, c'est donc le point réel situé sur la tangente menée à cette courbe en un quelconque des ombilics.

Appelons 1 fombilic par lequel passent les diverses lignes isotropes du plan qui ont pour coefficient angulaire i.

Soit K un point du lieu infiniment voisin du point I, en sorte que Kl est infiniment voisine de la tangente au cercle en I. Le point K appartenant au lieu, l'angle que fait KA avec KB est égal à 0). Maintenant, joignons le point K au deuxième ombilic du plan J; la droite KJ sera infiniment voisine de la droite de Tinfini, et le point k\ où elle coupera la droite AB, sera infiniment voisin du point à l'infini sur cette droite. Soit k le point où la droite Kl coupe la droite AB; d'après une proposition fondamentale que j'ai donnée pour la première fois dans une Noie Sur la théorie des foyers y insérée dans les Nouvelles Annales de Mathématiques (i853), l'on sait que le rapport anharmonique des quatre points A, H', k^ k' est égal à e^***', quantité qui est parfaitement déterminée {voir n" 1 ).

L'on aura donc

Xk Bk „ .

AA' ' Bk' " '

d'où en passant à la limite et en remarquant que le point k' est

alors à l'infini