DU SECOND ORDRE

Bulletin de la Société philomathique; 1868.

1. On sait que les courbes gauches du quatrième ordre sont de deux espèces dificrentes; par les unes on ne peut faire passer qu'une seule surface du second ordre; par les autres on en peut faire passer une infinité et elles peuvent être définies comme Tintersection de deux de ces surfaces. Je ne m'occuperai ici que de ces dernières et, pour abréger le discours, je les désignerai sous le nom de biquadra tiques gauches y ou simplement de biquadratiques lorsqu'il n^y aura lieu de craindre aucune ambiguïté.

Par toule biquadralique gauche Ton peut faire passer quatre cônes dont les sommets forment un tétraèdre T conjugué par rapport aux diverses surfaces du second ordre que l'on peut faire passer par la courbe. Considérons deux arêtes opposées de ce tétraèdre; il est facile de voir que toule droite, qui rencontre la courbe en un point m et s'appuie en même temps sur les deux arêtes considérées du tétraèdre, rencontre la courbe en un second point m'. Je dirai que les points m et m' sont conjugués, et j'appellerai simplement corde la droite qui joint deux points conjugués (*). Les diverses cordes de la courbe forment une surface réglée du quatrième ordre ayant pour lignes doubles les deux arêtes du tétraèdre; je désignerai cette surface par la lettre R.

(^) Voir ma Communication du i4 mars 1868 à la Société philomathique.

6o OKOMÉTRIE.

Comme, dans le tétraèdre T, il existe trois couples d'arêtes opposées, l'on voit que l'on peut grouper les points de la courbe de trois façons différenlcs; on obtiendra ainsi trois sysl<^mes de cordes formant trois surfaces réglées du quatrième ordre, la surface R et deux surfaces analogues que j'appellerai R| et R2. Je désignerai simplement les modes de groupement qui correspondent à ces trois surfaces par la notation (R), (R,) et (R2).

A chaque point de la courbe ne correspond, dans un mode de groupement donné, qu'un seul point conjugué; mais, en tout, il lui correspond trois points dont chacun lui est conjugué dans un des trois modes dégroupement que j'ai définis plus haut.

Ces définitions permettent d'établir facilement les propositions suivantes :

2. Étant donnée une droite quelconque rencontrant en deux points une biquadratique gauche, on peut mener par cette droite quatre plans tangents à la courbe. Chacun des points de contact a pour points conjugués les trois autres points de contact, en sorte que, si l'on joint le premier point aux trois autres, on obtient les trois cordes, correspondant aux trois modes de groupement, qui passent par ce premier point. Chacune de ces droites s'appuie donc sur deux arêtes opposées du tétraèdre T. La droite joignant deux points de contact pris arbitrairement et la droite joignant les deux autres points sont deux cordes du même système, en sorte qu^elles rencontrent les deux mêmes arêtes opposées du tétraèdre.

3. Si a, a' et 6, b' désignent deux couples quelconques de points conjugués, les droites a^ b et a , b' sont les génératrices d^une même surface du second ordre passant par la courbe.

4. Siy par une droite quelconque rencontrant la courbe en deux points et par trois couples quelconques de points conjugués, Von mène des plans y les plans ainsi obtenus forment un faisceau en involution.

En particulier :

Si, par une tangente quelconque à la courbe et par trois

SUR LES COURBES GAUCHES RÉSULTANT DE l'iNTERSECTION DE DEUX SURFACES. Ol

couples quelconques de points conjugués y Con mène des plans, les plans ainsi obtenus forment un faisceau en involution.

M. Chasies a donné un théorème analogue, relalîf aux cubiques gauches [Comptes rendus, lo août 1867, n° 22).

5. Soil a, b un couple quelconque de points conjugués d^une biquadratique gauche; si par la droite ab Ton mène les plans tangents à la courbe, les (piatre points de contact forment deux couples de points conjugués a', b' et a", b" appartenant au même groupe de points conjugués que a et b.

Ces deux couples sont parfaitements déterminés et les droites a!b\ (fV rencontrent les deux urétes du tétraèdre T sur lesquelles s'appuie la droite ab. De ces deux couples, il y en a un, c'est celui que je désignerai par a', 6', qui jouit de la propriété suivante. Les droites qui joignent chacune des extrémités de la corde ab aux deux extrémités de la corde a^ V forment un système de quatre droites situées sur une même surface du second ordre passant par la biquadratique. Le couple de points conjugués a" ^ W ne jouit pas de cette propriété.

Je dirai que a' 6' et ab sont deux cordes conjuguées et que a^' b" état sont deux cordes associées, ou bien encore, que ces couples de droites sont respectivement des génératrices conjuguées et des génératrices associées de la surface réglée R, lieu des cordes correspondant au mode de groupement que je considère.

Ces définitions établies, on aura les propositions suivantes :

6. Si Ton joint les extrémités de chacune des cordes appartenant à un mode de groupement donné, par exemple au groupement (R), aux extrémités de la corde conjuguée, toutes les droites ainsi obtenues sont les génératrices d'une seule et même surface du second ordre, que je désignerai par A. Aux deux autres modes de groupement correspondraient deux autres surfaces du second ^cgré que j'appellerai A| et A2.

Deux cordes conjuguées, appartenant au groupement (R), ou,

SI 1 on veut, deux génératrices conjuguées de la surface réglée R, sont polaires réciproques par rapport à la surface A; en sorte cjue la surface R est à elle-même sa polaire réciproque par rapport à la surface A.

Si par un point quelconque de la surface A on mène les droites qui s'appuient sur les divers couples de génératrices conjuguées de la surface R, toutes les droites ainsi obtenues sont dans un même plan.

7. Si une droite se meut tangentiellement à la surface A, en s^appuyant constamment sur deux génératrices associées quelconques de la surface R, elle touche la surface A suivant la biquadratique dont cette surface est dérivée.

Celle propriété résulte immédiatement de la proposition suivante : Toute droite (|ui touche la surface A en un point de la biquadratique et qui rencontre une génératrice de la surface II rencontre aussi son associée.

Le théorème précédent complète une proposition énoncée par M. Chasles {Comptes rendus, 24 février 1862, n** 64), et fournit le moyen d*obtenir elTectivement une biquadratique donnée par le mode de génération indiqué ci-dessus.

On voit que par toute biquadratique l'on peut faire passer trois surfaces du second ordre fournissant une solution du problème, chacune de ces surfaces correspondant à un des trois modes de groupement des points de la courbe, et, au moyen d'une quelconque de ces surfaces, on peut encore engendrer la courbe d'une infinité de façons différentes.

Les surfaces réglées du quatrième ordre et à directrices doubles que j'ai désignées par R, Ri et R2 jouissent de propriétés particulières qui méritent d'être signalées.

En général, si Ton considère une surface réglée du quatrième ordre, contenant deux droites doubles D et A, l'on voit que par chaque point a de la directrice D passent deux génératrices coupant A en deux points; de même, par chaque point 6 de A passent deux génératrices coupant D en deux points. Les génératrices divisent donc les deux directrices de telle sorte qu'à un point de D correspondent deux points de A et réciproquement.

La correspondance entre les points des deux droites D et A peut être exprimée par une relation à trois termes de la façon suivante. Il existe en général, sur la droite D, quatre points tels que le couple de points correspondant à chacun d'eux sur la droite A se confond en un seul point; désignons par a, a' et ç^ trois quel-

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conques de ces points. De même il existe sur la droite A quatre points lels que le couple de points correspondant sur la droite D se . confonde en un seul point; désignons par ^, ^' et ,8'' trois quelconques de ces points.

Cela posé, la relation qui existe enlre deux points correspondants aelb situés respectivement sur les droites D et A pourra être écrite sous la forme suivante :

relation où p, q et r désignent des quantités numériques constantes.

Dans le cas des surfaces que j^ai étudiées dans cette Note, la correspondance entre les points des deux directrices doubles a lieu de telle façon qu'à un couple de points de la droite D correspond un couple de points de la droite A; c'est-à-dire que si, au point a de la droite D, correspondent les deux points b et b' de la droite A, à ces deux derniers points correspondront deux mêmes points de la droite D, parmi lesq^uels se trouvera nécessairement le point a.

M. Chastes a depuis longtemps signalé l'importance de ce mode de correspondance dans son Mémoire Sur la résolution des équations du troisième et du quatrième degré. Les surfaces à directrices doubles du quatrième ordre, pour lesquelles a lieu ce mode de correspondance, jouent dans l'ensemble des surfaces de la même famille le même rôle que les cassiniennes dans T ensemble des courbes anallagmatiques.

On peut, dans ce cas, exprimer la relation qui existe enlre les points correspondants des deux directrices, et cela d\ine infinité de façons, par des équations à deux termes; tandis que, dans le cas général, cette relation ne peut pas être exprimée plus simplement que par Téqualion à trois termes donnée ci-dessus.