L. - II

6<> UFOMKTIilK.

3. Soiciil niainlenanl deux courbes quelconques A et B, cherchons ie lieu des poînls M lels (|u*une des langenles menées de ce poinl à la couibe A fasse un angle donné avec une des tangentes menées de ce même poinl à la courbe B. Ce lieu a déjà occupé divers géomètres, notamment M. Crcmona et M. Faure, qui ont déterminé son degré et sa classe. Je me propose ici de déterminer ses foyers principaux; on sait d'ailleurs que cette courbe (en général) ne rencontre la droite de Tinfini qu'aux ombilics, qui sont |)Our elle des points multiples de Tordre n — i, 2/i étant le degré de la courbe. Considérons en particulier rombilic I; chacune des tangentes menées à la courbe et la touchant en ce point contiendra un point réel qui sera le fojcr singulier correspondant à la branche de courbe que Ton considère. Soit un point K situé sur cette branche et à une distance infiniment voisine du point I; i*n sorte que la droite Kl est infiniment voisine de la tangente en I à cette branche du lieu. Soient Kr/ et K6 les droites menées tangentiellement aux courbes A et B et qui font Tangle donné co. Ces deux tangentes soi)t nécessairement infiniment voisines de deux droites isotropes; soit F le foyer de A, qui est infiniment voisin du point réel situé sur la droite Ka; soit G le foyer de B, qui est infiniment voisin du point réel situé sur la droite K6.

Je joins le point K au deuxième ombilic du plan J ; la droite KJ coupe la droite FG en un point A*' infiniment voisin de la droite de rinfini. La droite Ka coupe FG en un point F' infiniment voisin de F, et la droite Kb coupe FG en un point G' infiniment voisin de G. Soit de plus A' le |>oint où Kl coupe FG; d'après la proposition fondamentale que j'ai rappelée plus haut, Ton a

D'où, en passant à la limite et en remarquant que les points F' et G' viennent alors se confondre avec les points F et G et que le point k' s'en va à l'infini,