FA

L'on obtiendra donc le foyer singulier correspondant à la branche de courbe considérée, en déterminant, sur la droite FG, le point Ar

par celle équaiion, en joignanl ce poinl à Tombilic I el en prenant le point réel situé sur celte courbe.

En comparant ce résultat avec celui que j'ai obtenu dans le paragraphe précédent, Ton en déduit la proposition suivante :

Le foyer singulier, correspondant à la branche de courbe considérée, est le centre du cercle décrit sur FG comme segment et capable de l'angle donné w.

4. L'ensemble des foyers singuliers de la courbe s'obtiendra facilement. Désignons par F, F| , . . . , F;„ les m foyers de la courbe A , el par G, G|, . . ., G/i les n foyers de la courbe B. Prenons un foyer quelconque F/ de A et un foyer quelconque Fy de B : le centre du cercle, décrit sur F/Fy comme segment et capable de Tangle donné, sera un des foyers singuliers de la courbe; et on les obtiendra tous en combinant, de toutes les façons possibles, chacun des foyers de B.

Remarquons, en passant, que, d'après ce qui précède, l'équation du degré mn, à laquelle conduit la détermination des foyers singuliers du lieu, sera résoluble par la résolution d'une équation du degré m et d'une équation du degré /?.

Un des cas les plus utiles dans les applications est celui où la courbe B se réduit à un point P. La courbe étudiée est alors une podaire, c'est-à-dire le lieu des projections du point P sur les tangentes à la courbe A. Les foyers singuliers de celle podain; sont les points milieux des segments qui joignent le poinl P aux différents fo\ers de A.

o. Je vais traiter maintenant Je problème inverse du problème précédent. Étant données deux courbes fixes A et B, un angle de grandeur constante se déplace de façon que son sommet parcoure la courbe A, tandis qu'un de ses côtés roule sur Ja courbe B, quels sonl les foyers de la courbe G, enveloppée par le deuxième côté de l'angle?

Pour plus de clarté, je considérerai simplement le cas oùTangle constant est droit et où la courbe B se réduit à un point fixe P. Le cas le plus général se ramènerait facilement à ce cas particulier.

Je supposerai que la courbe A ail m branches qui se croisent en chacun des ombilics du plan, en sorte qu'elle aura m foyers sin-

gulîers que je désignerai par G, G', etc.; soit, de plus, n le nombre des points où elle coupe la droite des infinis en dehors des ombilics. On voit que la courbe sera du degré sm + n et qu'elle aura n asymptotes qui ne seront pas isotropes.

Joignons le point fixe P à l'un quelconque des points de la droite de l'infini, distincts des ombilics, qui appartiennent à la courbe; la droite de l'infini est perpendiculaire à cette droite; elle est donc tangente à la courbe C et elle la touche en un point a situé à l'infini sur la direction d'une perpendiculaire à l'asymptote (|ui passe au point a. Ce point a est d'ailleurs un foyer du lieu cherché: d'où cette conclusion : Le lieu a n fovers situés sur la droite de l'infini et sur la direction des droites perpendiculaires nnx n asymptotes de la courbe qui ne sont pas isotropes.

Menons maintenant par le point P la droite isotrope qui passe par l'ombilic I; cetle droite coupe la courbe A en m -f- /i points distincts de l'ombilic. Soit b Tun quelconque de ces points; la perpendiculaire au point 6 à la droite P6 se confond avec cette ligne elle-même; cette droite est donc une tangente isotrope du lieu cherché. Le même raisonnement s'appliquerait à-la droite isotrope qui joint le point P au deuxième ombilic J ; d'où cette conclusion : Le point fixe P est un foyer du lieu cherché, et un foyer niultiple qui doit compter pour (a/i -f- n) foyers réels.

La droite PI a encore m de ses points de rencontre, avec la courbe A, confondus au point I; la perpendiculaire en ce point à PI est indéterminée. Pour voir ce qui a lieu, considérons sur une des branches de la courbe Â, par exemple sur celle qui est caractérisée par le foyer singulier G, un point K infiniment voisin du point I. Joignons PK, puis menons en K la perpendiculaire à cette droite; cette perpendiculaire, étant à la limite d'une droite isotrope, le point réel qu'elle contient sera, à la limite, un foyer du lieu cherché. D'un aulre côté, la droite IK s'écarte infiniment peu de la tangente en l à la branche considérée de la courbe A; elle coupe donc la droit(; réelle PG en un point Â* infiniment voisin du point G. La droite KJ, s'écartant infiniment peu de la droite de l'infini, coupe PG en un point k' infiniment voisin de cette droite. Soit II le point où la perpendiculaire en K à la droite PK coupe KG; l'on voit facilement que les quatre points P, H, A:, k' forment un système de points harmoniques; on a donc la relation

Pk' • HA' "" ''

d*où, en passant à la limite, PG = GH.

On voit que le point H s'obtient en joignant le point P au foyer singulier G et en prolongeant la droite PG d'une longueur égale à elle-même.

En considérant la branche de courbe, passant au point J, qui correspond au même foyer singulier G, on obtiendrait aussi une tangente isotrope au lieu cherché passant par H; donc ce point est on fover de la courbe G.

6. En réunissant les résultats obtenus précédemment, l'on arrive au résultat suivant :

« La courbe C, définie comme ci-dessus, est de 2(/n-h/i)'*"'*' classe; elle a :

» 1® /i foyers situés à l'infini et sur des directions perpendiculaires aux n asymptotes de la courbe A qui ne sont pas isotropes;

» 2° Un -foyer multiple au point fixe P, qui compte pour (m -h n) foyers;

» 3" m autres foyers H, H', etc., que l'on obtient en joignant le point P aux foyers singuliers de la courbe Â, et en prolongeant d'une longueur égale à elle-même chacune des droites ainsi obtenues. »

7. Je vais appliquer ce résultat à la recherche de la relation qui existe entre les diflférents points d'intersection d'une courbe et d'un cercle. J'ai donné celte relation dans ma Note intitulée Théorèmes généraux sur les courbes algébriques, qui a éié insérée dans les Comptes rendus (janvier i863). Je la reproduirai ici en la présentant sous une forme plus commode.

Étant donné un système de n droites situées dans un plan, et un axe fixe dans ce plan, si l'on fait la somme des angles que fait chacune de ces droites avec l'axe fixe, la somme de ces angles (somme qui sera déterminée à un multiple près de tt) mesurera ce que j'appelle Vorientation du système des droites relativement à l'axe fixe. Le système étant représenté, par exemple, par A, je désignerai simplement son orientation par rapporta un axe donné par

70 OÉOMÉTRIE.

la notation (A). Si deux systèmes de droites A et B ont an même orientation, ce qu^on exprimera parla relation

il est clair que cette propriété subsistera quel que soit Taxe fixe que l'on ait choisi comme terme de comparaison.

Ceci posé, soit une courbe algébrique B de degré /?, ne passant pas d'ailleurs par les ombilics, en sorte qu'elle n*a pas de foyers singuliers. Coupons cette courbe par un cercle quelconque; les 2/> points d'intersection peuvent toujours se distribuer deux par deux sur/? droites réelles (dans cette Note, je ne m'occupe exclusivement que de courbes réelles ou du moins ayant une équation réelle), et cela pourra se faire de plusieurs manières, s'il y a plus de deux points d'intersection réels. Le théorème que j'ai donné dans les Comptes rendus peut alors s'énoncer ainsi :

U orientation du système formé par ces p droites réelles est la même que V orientation du système formé par les asymptotes de la courbe B.

Cette orientation est évidemment constante, et lorsqu'on la connaît, on peut, étant donnés (2/> — i) des points d'intersection, construire le dernier point.

8. Je considère maintenant une courbe A, telle que celle que j'ai examinée ci-dessus, possédant m foyers singuliers G, G', etc. et n asymptotes non isotropes, en sorte que son degré est égal à am + n.

Un cercle quelconque la coupe en 2 (m -{- /i) points distincts des ombilics; soit d un quelconque de ces points. Prenons sur ce cercle un point arbitraire P et désignons par Q le point diamétralement opposé à P; considérons enfin la courbe C, dont j'ai déterminé les foyers dans le n° 6, et qui est l'enveloppe du côté d'un angle droit dont le deuxième côté s'appuie sur P, tandis que son sommet parcourt la courbe A. Il est clair que la droite Qrf et les droites analogues sont les diverses tangentes que l'on peut mener à la courbe C par le point Q.

Je rappellerai un théorème que j'ai donné dans ma Note Sur la détermination du rayon de courbure des lignes planes, insérée

dans le Bulletin de la Société philomathique (février 1867), théorème qui peut s'énoncer ainsi :

Si par un point Q pris dans le plan d^une courbe réelle de

classe n, on mène les n tangentes à la courbe, V orientation du

faisceau formé par ces tangentes est la même que celle du

faisceau formé par les droites qui joignent le point Q aux

foyers de la courbe.

Appliquons ce théorème : désignons par (Qrf) Torientalion du faisceau de droite formé par Qrf et Jes droites analogues, par (QP) rorienlation du faisceau formé par les (m -h n) droites coïncidant avec QP, par (Z) l'orientation du faisceau formé par les droites menées par Q parallèlement aux n asymptotes de la courbe A qui ne sont pas isotropes, par (QH) l'orientation du faisceau formé par la droite QH et les droites analogues; nous obtiendrons la relaiîon

ou bi

len

(Q^) = (QP)-(QH)-i-(Z)-H^,

(Q^)-(QP)-^=(QH) + (Z).

Imaginons maintenant un système de (//i-f-/i) droites réelles passant par les 2 (m -h n) points d'intersection du cercle et de la courbe A, et soit (T) son orientation, il est facile de voir que l'on a

(T) = (Qe/)-(QP)-(m-+-/i)^.

Transportons, parallèlement à eux-mêmes, de sorle que leur orientation ne change pas, les faisceaux entrant dans le second membre de la relation ci-dessus, en leur donnant comme sommet commun le centre R du cercle. Par suite de la position relative des points H, H', etc. et G, G', etc., on voit qu'au lieu du faisceau formé par les droites allant du point Q aux points H, H', etc., nous aurons à considérer le faisceau formé par les droites allant du point R aux points G, faisceau dont je désignerai l'orientation par (RG); le deuxième faisceau reste toujours composé des parallèles aux asymptotes et la relation donnée ci-dessus peut s'écrire

72 OiOMÉTRIE.

ainsi

(T) = (RG)^-(Z) + ^,

d^où le théorème suivant :

Théorème. — Étant donnée une courbe algébrique, ayant m foyers singuliers et de degré ^m-\- n\ un cercle quelconque la coupe en 2(m-|-/i) points distincts des ombilics. Si l'on imagine un faisceau de (m 4-/1) droites réelles passant par ces points d'intersection, l'orientation de ce faisceau diffère de m angles droits de l'orientation du faisceau formé par les n asymptotes de la courbe qui ne sont pas des droites isotropes, et par les m droites qui joignent le centre du cercle aux foyers singuliers de la courbe.

SUR

Bulletin de la Société PkHomathiquc; 1869.

1. On désigne sous le nom de lignes spiriques les courbes anal-

lagmaliques du quatrième ordre qui onl un axe de symétrie. Ces

lignes ont été depuis longtemps Tohjet des études des géomètres,

el, récemment encore, M. de La Gournerie leur a consacré un

remarquaiile Mémoire inséré dans le Journal de Liouville {i86g).

Comme toutes les anallagmatiques, ces courbes ont quatre foyers

singuliers, dont deilx réels et d(*ux imaginaires; ces quatre foyers

sont d'ailleurs les foyers ordinaires des quatre coniques homofo-

cales au moyen desquelles, d'après la proposition de M. Moutard,

on peut décrire ces courbes en les considérant comme enveloppes

de cercles.

On peut distinguer deux espèces de spiriques; dans les premières, que je dirai être de première espèce, les deux foyers singuliers réels sont situés sur l'axe de symétrie; dans les autres, que jedirai êlre de deuxième espèce, ce sont les deux foyers singuliers imaginaires qui sont situés sur cet axe. Leurs propriétés, du reste, souiies mêmes au fond, et ne dilfèrent que par les diverses façons de les énoncer. Dans tout ce qui suil, je considérerai spécialement les spiriques de première espèce.

^'ayantà considérer ici que les foyers singuliers de ces courbes, J^ les désignerai simplement sous le nom de foyers. Autour d<chaque foyer singulier, comme centre, on peut décrire un cercle 9"! oscule la courbe en chacun des ombilics; je désignerai les deux cercles ainsi définis sous le nom de cercles focaux. Etant donné un cercle, j'entends par puissance d'un point, rela-

74 OéOMÉTRIE.

tivemenl à ce cercle, le carré de la longueur de la langente que Ton peut mener de ce point au cercle.

Les spiriqucs renferment, comme cas particuliers, un grand nombre de courbes remarquables, notamment les ovales de Descartes, ou, pour me servir d'une expression plus nette déjà employée par M. de La Gournerie, les cartésiennes ; elles peuvent être considérées comme des spiriques dans lesquelles les deux foyers réels viennent se confondre.

La spirique peut encore s'abaisser au troisième degré; je la désignerai dans ce cas, pour abréger, par le nom de cataspirique. La cataspirique n'a qu'un seul foyer; elle peut être considérée comme wne spirique dans laquelle un des foyers est rejeté à rinfini.

Les coniques peuvent aussi être regardées comme des spiriques dont les deux foyers ont été rejelés à Tinfini.

D'un point de Taxe d'une spirique, on peut mener huit normales à la courbe, dont quatre se confondent avec l'axe et dont les quatre autres sont symétriques par rapport à cet axe. Je désignerai sous le nom de points associés les deux points situés d'un même côté de l'axe, et tels que les normales élevées en ces points concourent en un même point de l'axe.

2. Les spiriques jouissent de toutes les propriétés connues des anallagmatiques; elles possèdent en outre des propriétés particulières. Ces propriétés se déduisent facilement de la proposition suivante, qui s'établit immédiatement par la définition même des spiriques :

Proposition. — Etant donnés deux points fixes A et B d'une spirique et un point mobile C situé sur cette courbe; si l'on joint le point mobile aux deux points fixes et si, par le milieu des cordes ainsi obte/iues, on mène des perpendiculaires à ces cordes, ces perpendiculaires déterminent sur l'axe de la courbe deux divisions liomographiques, dont les points doubles sont les deux foyers situés sur l'axe.

Théorème I. — Étant donnés deux points fixes A et B d'une spirique, si l'on joint un point C mobile sur cette courbe aux deux points fixes et si, sur les milieux des cordes AG et BC, on mène des perpendiculaires à ces cordes, coupant l'axe de

symétrie aux points % et ^]¥ et G désignant les deux foyers réels de la spiriquCy le rapport

Fa ^ Ga

Fp • G^

demeure constant y quelle que soit la position du point C sur la courbe, et sa valeur est égale au rapport des puissances des points A 6/ B relativement au cercle focal ayant pour centre te foyer F.

Théorème II. — Étant donnés deux points fixes A ^^ B d'une cataspirique et un point mobile C situé sur la courbe; si, par le milieu des cordes AC et BC, on mène des perpendiculaires coupant respectivement Vaxe de la courbe aux points a et p, le

rapport

est constant, quelle que soit la position du point mobile sur la courbe, et ce rapport est égal au quotient des puissances des points A e/ B relativement à la courbe.

Théorème III. — Etant donnés deux points fixes K et ^ d'une cartésienne et un point mobile C situé sur la courbe; si, par les milieux des cordes AC et BC, on mène des perpendiculaires à ces cordes, coupant respectivement l'axe de la courbe aux points ol et p, la différence

est constante, quelle que soit la position du point mobile sur la courbe, et la valeur de cette différence est proportionnelle à la différence des carrés des distances du foyer aux points A

Théorème IV. — Le produit des puissances d'un point quelconque d'une spirique relativement à ses deux cercles focaux ^ii constant.

Théorème V. — Si l'on prend les polaires du point d'une spirigue relativement à ses deux cercles focaux, la portion de

la tangente interceptée entre ces deux droites a pour po milieu le point de contact.

Théorème VI. — Étant donnée une corde quelconque d^une spirique, si Von prend les points de rencontre aet ^ ^ l'axe avec les normales menées à la courbe par les extrémiC de cette corde, et le point K oà la perpendiculaire élevée milieu de la corde coupe cet axe y le point K est l'un d^-^ deux points doubles de Vinvolution déterminée par l^-^ points F, G e/ a, p.

Remarque, — Celle proprit'lé esl exprimée par la relalio»» suivante :

Lorsque la courbe esl une cataspirique, le foyer G est rejeté à Tinfini, et l'on a la relation

FK*=Fa.Fp.

Lorsque la courbe est une cartésienne, les deux foj^ers coïncident en un même point F, et par conséquent les quatre points F, K; a, ^ sont en rapport harmonique.

Si la courbe est une conique, les deux fo^'ers sont à l'inGni et le point K est le milieu du segment a^.

Théorème VIL — Si deux points d*une spirique sont situés sur une même perpendiculaire à Vaxe, ou s'ils sont à égale distance du centre de la courbe, les normales en ces points coupent l'axe en des points équidistants du centre.

J'appelle ici centre de la spirique le point milieu des deux foyers.

Théorème VIIL — Le point de l'axe oii concourent les normales en deux points associés et le point ou la perpendiculaire, élevée au milieu de la corde qui les joint, coupe l'axe, partagent harmoniquement le segment intercepté entre les foyers.

SUR QUELQUES PROPRIETES DES LIGNES SPIRIQUES. -j;

Théorème IX. — Le milieu de la droite qui joint deux points associés quelconques est situé sur une droite Jixe perpendiculaire à Vaxe,

Théorème X. — La somme des carrés des distances des deux points associés à un foyer est constante et égale au double du carré du rayon de ce cercle.

Théorème XI. — Si, par le milieu d^une corde d'une spiriquCf on mène une perpendiculaire à cette corde, le rapport des distances du point de r^en contre de cette droite avec l'axe aux deur foyers est égal et de signe contraire au quotient de la puissance d'une des extrémités quelconques de la corde relativement au cercle focal du premier foyer, par la puissance de l'autre extrémité relativement à l'autre cercle focaL

Théorème XII. — La normale en un point d'une spirique partage la droite joignant les foyers en deux segments dont le rapport est égal et de signe contraire à celui des puissances du point relativement aux cercles jocaux.

Théorème XIII. — Sur une normale quelconque à une spiriqucy le rapport des segments déterminés par le centre de courbure, sur la portion de la normale interceptée entre l'axe et la courbe, est proportionnel au carré du sinus de l'angle que la normale fait avec l'axe et au cube de la longueur de la tangente menée du point de rencontre de la normale avec l'axe au cercle décrit sur la droite qui joint les deux foyers comme diamètre.

3. Les spiriques, qui onl deux a^ies de svmélrie, sont à la fois de première et de seconde espèce et jouissent des propriétés précédentes relativement à leurs deux axes. De là des propriétés particulières que j'exposerai dans une aulre Communication.

Les surfaces anallagmatiques, ayant un plan de symétrie, jouissent relativement aux normales qu'on peut leur mener de quelques-unes des propriétés énoncées ci-dessus. Je développerai plus tard ce point important de leur théorie.