DONT LES COEFFICIENTS SONT RATIONNELS

Journal de Mathématiques pures et appliquées: iS85.

1. Je considère une série Zj ordonnée suivant les puissances décroissantes de x et qui satisfait identiquement à Téquation différentielle linéaire

(I) WV=2V^-hU,

où U, V et W désignent des polynômes entiers, et je me propose d'étudier son développement en fractions continues.

La série z peut, d'ailleurs, être divergente pour toute valeur de x] rien n'empêche de la réduire en fractions continues; il sera seulement nécessaire de déterminer pour quelles valeurs de x les réduites forment une suite convergente et quelle est la fonction dont elles donnent la valeur.

Dans tout ce qui suit, étant donné un poljnome ou une série ordonnée suivant les puissances décroissantes de J7, j'appellerai degré du polynôme ou de la série le degré de son premier terme,

( ' ) Ce Mémoire aurait dû figurer à la fin du Tome I.

(iHi't ALGEBRE.

et je représenterai simplemenl par la notation (—;;)> ^^ faisant

abstraction de ses cocfncients, une série commençant par un terme du degré — n,

2. delà posé, on sait i\ue^/n désignant un polynôme entier de degré /?, on peut toujours disposer des (/i-|-i) coefficients qu'il renferme, de telle sorte que, cp„ désignant la partie entière de z//,,

le développement de l'expression z * - commence par un terme

du degré de —z — : une telle fraction -J^ se nomme une réduite

de z. Pour certaines valeurs du nombre entier /i, il peut même arriver que l'approximation soit plus grande et que le premier

terme du développement de :; — -^ soit d'un degré inférieur à

celui de -j;^'» dans ce cas, il y a surapproximation.

En général, on aura donc, d'après la définition des réduites,

OÙ p désigne un nombre entier positif ou zéro; de là

et, en portant ces valeurs de z et z' dans la relation (i),

ou encore

Soit UL le degré de la série V^-^ -4- ^^(— :); '' est clair que le

premier membre de cette égalité est un polynôme entier; il en est de même du second, qui est du degré (jx — p); on pourra donc poser, en désignant par A„ une constante dont la valeur dépendra du nombre entier n et par 0;, un polynôme entier du degré a — a,

Sn est un polynôme entier du degré [jl — p, il est, par conséquent, d'un degré égal ou inférieur à [jl. En général, il est du degré [x, et son degré ne s'abaisse que quand, pour certaines valeurs du nombre /t, il y a surapproximation. Le maximum d'approximation aura lieu pour p = a, auquel cas 6 est une constante; une approximation plus grande ne peut avoir lieu : autrement, 6 étant nul,

on voit que z serait égal à la fonction rationnelle -^i cas que

j'écarte expressément.

3. Réciproquement, si l'on peut déterminer deux polynômes entiers ç„ et /„, tels que le premier membre de l'égalité (2) se

réduise à un polynôme du degré a ou d'un degré inférieur, ^ est

une réduite de la série z.

Ayant posé, en elTet,

d'oCi

l'identité (2) devient

OU encore, par suite de l'équation (1),

Le premier membre de cette égalité est au plus du degré de

et le second, du degré

d'où il résulte que u est au plus de degré de — j;^» et, par suite, ^ est une réduite de la série :;.

4. Toute la question se réduit ainsi à la solution par des polynômes entiers de Téquation (a), le polynôme B« étant d^oo degré au plus égal à ^; et, tout d'abord, j*en déduirai que J^ satisfait à une équation linéaire du second ordre.

A cet effet, je forme Téquation

qui a pour solutions

En (>o$anty pour abréger,

«>* = v'. V;— r« ri,

oo •. d*après ODe formule connue.

or un calcul facile donne

et» on tenant compte de ridenlitê yi u

doù

et vi^ U nr>u te iitiaieiixtemeat que ."eijujtîon cherchée eî-t de la

ix*;:.- ::'M\<:* Ji::\^ .tA- . .r>. ^\:^ si::>fAÙe qiicJ on v fail % ", . K, x'^; .i.*--c xuL rcN:i%,"; --.i-frdjnt ie de^rê est indé-

wn w-Av;v*vfjr.>r ct.;^: ", >i; -Ci»; 1 . fT.i*i:.:z ' . i-e -ii5 que Ton

peut délermioer le poljDome U qui figure dans Tëquation difTé-^ rentielle (i), de lelle sorte que la série z qui salisfail à cette équation ait une réduite dont le dénominateur soh /„,

Soient, en effet, a, p, y, ... les diverses racines de l'équation

f„(^x)=. o; décomposons en éléments simples la fraction J^ ">

et posons

A/tB/, G« ^ /?a . V^ yg

Pour avoir les coefficients />« et 5^», il faut diviser

A4e„(gt)H-e;(a)/i] par

or, //i(x) satisfaisante Téquation (3), on a évidemment ^/.(«)[W(a)/;(a)-+.W(a)y7,(a)]=/A(a)[W(a)eU«)~2V(a)e„(a)]; le diviseur devient, par suite,

et le quotient

A..e„ra) r ^yça) 1,

d'où Ton déduit la relation suivante

Je pose maintenant

VV(a)

2PaL ?«

en sorte que Ton ait

(4) A„e^ ^ g^ .,££__ ^ ?i! MX.

(') Il résulte d'une remarque imporlanlc due à M. Hermile que la déterminalion des polynômes G^, P„ et ç^ n'exige pas la résolution de l'équation /«= o. L. — II. 44

et je coniiidère l'expression

L*idenlilé démontrée plus haut,

montre que cette expression ne devient infinie pour aucun des zéros de /"„ ; on a donc, Un désignant un polynôme entier,

^^ /n VV fn W *

Éliminons P« entre les identités (4) et (5), il viendra, après avoir chassé le dénominateur,

et de là résulte la proposition que je voulais démontrer.

6;2 étant, en eflel, d'un degré au plus égal à u, il est clair

que ^ esl une réduite de la série z qui satisfait à réquation dif-

férentielle

6. Pour déterminer complètement Téquation dilTérentielIr à laquelle satisfait le dénominateur /„ d'une réduite, il est néce>saire de connaître les polynômes S„ et R„ qui y figurent.

Afin de trouver leur expression ou de montrer au moins comment on peut les calculer par voie de récurrence, je m'appuierai sur les considérations suivantes :

On sait qu'entre les termes de deux réduites consécutives on a la relation suivante

A.„^, étant une constante dont on peut choisir arbitrairement la valeur, puisque les deux termes de la réduite ne sont déterminés "|"'à un facteur constant près; je supposerai que cette constante -st précisément celle que j'ai introduite dans l'identité (2).

SUR LA RÉDUCTION EN FRACTIONS CONTINUES. 6<jf

Cela posé, de la relation précédente et de la relation

(6) ?n/n-l— /n<Pn-l = A„

qui s'en déduit, on tire d'où, en posant

—7 = *^rti

les formules suivantes, où Q,, est un poljnome du premier degré,

Portons maintenant, dans la relation (a), la valeur de A,, tirée de l'équation (6), cette relation pourra se mettre sous la forme suivante

d'où ces formules, où û„ désigne un polynôme entier,

7. Q„ est un polynôme entier dont il est facile de déterminer le degré; on déduit, en effet, de la première des formules (8),

Jn Jn

il en résulte que le terme du degré le plus élevé de ce polynonie

n W est le premier terme du développement de l'expression V H ;

la fraction O,/^ est, en effet, du degré de v(-^) + w(-îr).

8. En dérivant la première des identités (7) et en multipliant par W le résultat obtenu, il vient

on a, d^ailleurs, les idenlilés

\V/:,-i = (Ûn-l - V)/„-i -h iln-t/n-f \

portant ces valeurs dans la relation précédente, on a

(û„^,-V)/;,^,4-[e„4.i-WQ;,-Q„(û«-V)]/„

puis, en remplaçant /„^, par sa valeur Q«/„ — R,////i,

On a, d'ailleurs,

d'où les deux formules suivantes :

(9) Q„(i2n-Hi— Û„) -+- e«^, - ^^ Sn-i = WQ;,

(10) R„(û„^,-û„o= -p— Q«-ie„-, — Q„e„.