Pour les démontrer, je remarque que Tangle APM étant

droit, l'angle PAN est égal à l'angle MAB; faisons, pour un instant,

MAB = a, NAB^?.

Les deux triangles PAN et NA/i donnent

F*N sin^a Mm .AN A m. B/;i . A/i.AB Bm

TT-- î^in^û " TTT* "^"^ Am.AB.A/i.B/i B/i

iN n ^ A M . N n

En second lieu, le triangle APN donne

II. Considérons maintenanl detix paraboles II cl II' {fig- 3) a}>aal le poini F pour fover el |ioiir sommets respectifs les deux points a et 6 de la droite F4>.

\lr

Par im point quelconque M de celle dtoiie, menons une tangente à chacune des paiiibotes et soient respectivement A et B leurs points de contact; on sail que le cercle, a^'anl pour centre le loyer F et passant par le point M, contient les points A et B; j'appellerai N le point où il rencontre de nouveau l'axe F4>.

Du point M abaissons une perpendiculaire Ail* sur la droite AB, et, par le point I milieu du segment AB, menons une parallèle à l'axe qui rencontre Ml' au point It, il est clair que la ligure MRIF esl un parallélogramme.

Soient maintenant a et ^ les milieux respectifs des segments MA et MB; l<i droite a|3 esl évidemment parallèle à AB et partagée eu parties éj^-ales par la droite MI en son point milieu O; d'où it suit que lii ligure K^Fa est un parallélogramme.

Ainsi les segments K^ et aF sont égaux et parallèles; C, & el a

SUR LES ANTICAUSTIULES PAU RÉFUACTION DK LA l'AHAIlOLK. 683

élant les pieds des perpendiculaires abaissées sur I^axe des points R, ^ et a, on a donc

d^où il résulte que Fc est constant et que, quand le point M varie, le point R décrit la droite ce'.

J^abaisse maintenant du point F la perpendiculaire FS sur la droite MP, du point R la perpendiculaire RG sur la droite FI et du point N la perpendiculaire NQ sur la droite âB; il est clair que RS est égal à FG, et encore à NQ, car il est aisé de voir que la figure GQFN est un parallélogramme.

Or, en désignant par A' et B' les pieds des perpendiculaires abaissées sur TaiLC des points A et B, il suit du lemme II que Ton a

NQ = RS =- NA'.NB ' =

D'où il suit que la longueur US est constante lorsque le point M se déplace; nous avons ainsi un triangle rectangle RSF dont un petit côlé passe constamment par le point F, tandis que l'autre petit côté est constant et que le sommet R décrit la droite ce'.

Il en résulte donc, d'après ce que j'ai démontré plus haut, que US enveloppe une anticaustique principale de parabole; le centre instantané de rotation étant d'ailleurs évidemment le point I, la tangente RS touche son enveloppe au point P.

12. Soit K l'hypercycle symétrique enveloppé par RS; si, du point A comme centre, on décrit un cercle ayant AP pour rayon, il est clair que son enveloppe est la courbe K; or, il résulte du lemine I que l'on a

Av /inb; /Vu

AA' "■ V NA' "' \''' In'

D'où il suit que ce rapport est conslanl et que K est I anlicaustique principale de la parabole II, les rayons incidents étant perpendiculaires à l'axe et le module de réfraction étant

On démontrerait de même que K est Tanlicaustiquc principale de la parabole II', les rayons incidents étant perpendiculaires à

68/| aÉOMÉTRIE.

r^xe et le module de réfraction étant

13. Il est maintenant facile de résoudre le problème suivant :

Un bypercycle K est l'enveloppe du côté RS d'un triangle rectangle KSS', dont le côté SS' passe constamment par le point fixe F {fi g. 3), dont le côté IIS a une longueur constante et dont le sommet K décrit la droite cc'\ trouver les paraboles pour lesquelles cette courbe est une anticaustique principale.

A cet eflel, que du point F on abaisse une perpendiculaire à cd rencontrant le côté RS en M, et que de ce même point comme centre on décrive un cercle H passant par M; que l'on détermine le point de rencontre I «le la droite menée par F perpendiculairement à SS' et de la droite menée par R perpendiculairement à ce', puis que par I on mène une droite A parallèle à SS'. Cela posé, si Ton imagine les deux paraboles qui, avant F pour foyer et ayant leur axe perpendiculaire à cd ^ passent respectivement par les points de rencontre de A et du cercle H, on obtiendra les deux paraboles pour lesquelles K est une anticaustique principale.

Il est à remarquer que ces deux paraboles ne sont pas toujours réelles; elles seront imaginaires si la droite A et le cercle H ne se rencontrent pas.

SUR LA

d'une