De la relation (12) résulte l'égalité

ou, en remplaçant Û„^| 4- û,, par sa valeur déduite de l'identité (i3),

\V(S„^.- S„) = U, [ %tl ^ |5Z1 - 5il(i2„„ u„)l

ou encore, en verUi de (9 ), d'où enfîn

(l4) Srt-«-i — ^n ~ —

H. Je résumerai ici les conséquences 1res simples de l'analyse un peu longue qui précède.

On a, entre les termes des diverses réduites, les relations suivantes :

, V i /n+l— Q/i/«-HRii/«-I = 0,

où R/i désigne un nombre que Ton peut choisir arbitrairement, Sn un polynôme entier du degré [jl, Çï,t un polynôme entier du degré [x 4- 1 dont le terme du degré le plus élevé est le premier

terme du dtWeloppement de Vh > et Q„ un polynôme du

premier degré.

Ces polynômes sont reliés entre eux par les relations suivantes :

on a, en outre, l'égalilé suivante, où S„ est un poljnome entier,

(lO U„-V«-?^^^=\VS„.

H/Il

On peut ajouter que, si Ton pose, pour abréger,

K,, - e;,{ i2„— V) - - e„( li,; — V) - e« s„,

fn satisfait à Téqualion différentielle du second ordre

O) we„y-hr(^^VH-w')e„-we;,iy-+-K„^ = o.

12. Je me propose maintenant de montrer que les relations (9) et (i3) suffisent pour déterminer par voie récurrente les polynômes Q„, H„ et û;,, et, à cet elTet, j'établirai le lemme suivant :

Lemme. — Si des polynômes /„, cp,„ Q,,, H,,, û;, et les nombres Rrt sont liés entre eux par les relations (7), (9) et (i3) et si l'on déjlnit deux suites de polynômes A^ et B/, par les égalités suivan les :

on a, entre trois polynômes consécutifs de chacune des suites, les relations

et

B„H| — Qn Bn -f- R„ B„| = o.

Démonstration, — Je ne m'occuperai que des polynômes A„, la marche à suivre élant exactement la même pour les poljnomes B/,.

On a, en vertu même de la définition donnée,

et de même

Portons ces valeurs dans l'égalité

qui résulte immédiatement de la première des équations (7); il viendra

-f.[R„(ii„l-V)-Qne;,]/„-t

-i- Rw6„|/n, — A„Ki-+- Qn^n — RnA„.-i= O

OU, en remplaçant/;,^! par sa valeur Q,,/„ — R/i///-i,

[Q«(i2„H., -> i2„) -4- e^^, - WQ;]/n

-t- ^n^n-l/n-i — ^^4-1-+- Qn ^n — R// -^n l = O

OU encore, en vertu des identités (9) et (i3),

^n-l/n — p ^/i-lQn-l/n-l

-•- ^n^n-l/n-1 — A^-»-! -f- Qn A^ — R^ ^n~i = O.

Ce qui, par suite de l'identité,

se réduit à

A,i-»-i — QnA,|-h R„ An i = o.

Une démonstration analogue s'appliquerait aux polynômes B,

13. Supposons maînlenanl que Ton ait déterminé trois suites de polynômes S^, û^ et Q^, par les relations (9) et (i3), puis deux suites de polynômes ç« el/n par les relations (7); qu'enfin, pour deux valeurs consécutives de Tindice, on ait

A/= A/| = 0 el B/= B/i = o.

Il résulte du lemme précédent que Ton a également

A/-HI = A/^.J = A/^.3 = . . . = o

et

Bi4-i = B,>.j = B,-H5 = . . . = o,

et, par suite, les polynômes ^„ el /,t satisfont aux équations (8). Or, en éliminant û;,, on en déduit

ce que Ton peul écrire

et, {^nfit-\ — fn^n-\) étant une constante en vertu des relations (7), on voit que le second membre est un polynôme du

degré u, et, par suite, la fraction — est une réduite de la série z.

Jn

14. Ainsi toute la question est ramenée à déterminer par les identités (9) et (i3) les polynômes Q„, 0,/ el û„.

Si l'on met en évidence leurs coefficients inconnus, en égalant à zéro les multiplicateurs des puissances de x^ on obtiendra un certain nombre d'équations qui permettront de déterminer le» coefficients de Q„, û/i+i, ^n^\ au moyen des coefficients de Û/,, 0,1 el 0/1 i .

15. Comme application, je considérerai d'abord le cas le plus simple, à savoir ; celui où les fonctions 0„ sont des constantes et où |jL = o. C'est ce qui a lieu si W est au plus du second degré el si V est au plus du premier degré.

Gamme 0,^ est une constante et que R«, jusqu'à présent, est resté arbitraire, je poserai

SUR LA nÉDUCTION EN FRACTIONS CONTINUES. 697

et les équations (12) el (i3) deviendront alors («5) i2;,^,-f-i2„ = -Q„,

06) ÛÎ-V«-R;,= WS;„

el, ajant délermînéles polynômes entiers qui satisfont à ces équations, on aura les relations

, ( //i-Ki~Q«/«-+- R«//i-i = o,

(8) i ^fn=(Qn-'\)fn-^^nfn-U

en outre, /„ satisfait à l'équation différenlielle

où le coeffîcient de y est nécessairement une constante.

16. Considérons, par exemple, la fonction z = log ( — - — j qui satisfait à Téquation différentiel le

on a ici

W = a^-— 1, \=o et 1} = IX.

Le polynôme û/,, dont le terme du degré le plus élevé est le pre« mier terme du développement de n > est de la forme

nx-i-ai„,

Tidentité

(nx-hOL„y-— R„=(xî— i)S„ donne

a„=o, R„=/iî, S„=/i«;

d'où, en vertu de l'équation (i^),

Q„ = — (2AÏ -hi)x:

puis les relations

ç„-4, -+- (9./1 -h i):r<p„ -i- n«<p„i = o; (a^î— 1)/;, = nx/„ -f- n^fn-u

(X<— I)çp;,= nxr^n-^ /i'?«~l-H '>^fn\

d'où Ton déduirait aisément les relations connues entre les poljnomes X^ de Legendre.

L^équation difTérentielle du second ordre à laquelle satisfait f^ est, d'ailleurs,