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est le carré d'une fonction rationnelle de g et de h.

Mais c*est un point que je me réserve de traiter plus tard en cssa^'ant, du moins dans des cas particuliers, d^'ntégrer les systèmes d'équations aux difl'érences finies (27) et (28).

31. Les formules précédentes permettent, pour une valeur donnée de x^ de calculer de la façon la plus simple les valeurs des réduites d'une fonction z qui satisfait à une équation difTérentielle linéaire du second ordre dont les coefficients sont rationnels.

Au point de vue du calcul numérique, la solution peut être regardée comme complète; mais, si l'on veut déterminer effectivement par des expressions analytiques les valeurs des coefficients des quotients incomplets, on est conduit à intégrer un système d'équations aux différences ordinaires dans lequel le nombre des quantités inconnues est d'autant plus grand que le degré du polynôme 6/1 est plus élevé.

L'intégration de ces équations semble, en général, présenter d'assez grandes difficultés; nous savons, en effet, que, dans un cas particulier relativement simple étudié par Jacobi et par Borchardt (à savoir celui où z est l'inverse de la racine carrée d'un polynôme entier), l'intégration dépend de la théorie des fonctions elliptiques et des ibnclions abéliennes.