Ayant
= x^[n{n -^ 9.)x -h 2{n -f i)an — '2p], on en déduit
Dans le cas où il y a surapproximation, Bn doit se réduire à une constante; on a donc
et l'équation diflTérentielle à laquelle satisfait y„ devient
x^y-¥- (jx'-f- 2px -\- iq)y' — [/i(/« -+- i\)x -h (an -f- 3)a«^- 3/?] = o.
Réciproquement, si Ton détermine la quantité a/,, de telle sorte que Téquation précédente ait pour solution un polynôme entier y„, on peut déterminer les quantités r et 5, de telle sorte que le dénominateur de la /i'^»»<= réduite de z soit f^.
29 Comme dernière application, je considérerai la fonction
'•^ ^- dx
z = {x^-^ Zgx -^ h)
JL. /•
{x^^^gx-^h)^
qui satisfait à Téqualion dififérentielle
On a, dans ce cas, W =x^-h3gx-i- h, V = |i(ar«-+-^) et U = — (a?ï-+-3^a?-h A),
el l'on peut poser
0,,=. (n-+-|A)ar»-r-ana?-f-P„,
Q„= A„ar4-B„.
Substituant ces valeurs dans les relations (19) et (20), on obtient les égalités suivantes, qui doivent être identiquement satisfaites,
-h (a„^, — a„i)a7 -*- 6„-4 i— ^„= Art(a7»-f- 3^37-+- /i),
-T- (a„H-i -^ a«)a7 -4- P«+i h- p„ = — ( A„a7 h- B„) (a^a? h- bn),
iVoù Ton déduit
^ 2 n -+- î» fx -4- I , .
bn
P/iH-i =— pn— ('2/H-2|i-l-i)(a„H-| — a„)--.
2/l-t-2|l-4-l Q^ Q 2/l-^2|l-hI, .-
«/iH-i = ««-1 H ~-^- ( P«+l— P/»— 3/?) —î- («n+l — «n)',
. , 2/l-t-2|H-l Q Q 2/H-2U-hI,
«n ai
Ces relations permettent de calculer successivement les nom* bres rt/, 6/, a/, j3/ et par suite les quotients incomplets Q/. Ou a d^ailleurs
et, comme la partie entière du développement de r est '■ — »
iroù
* I — I^JL
710 ALGEBRE.
et par suîle les valeurs inîliales suivantes :
ûf-i = o, ô i=o, go= » Oo= — > »»=0, Bo=jiA';
I 'À II 1 — 2 JX
cPoù Ton déduira successivement, au mojen des formules (26). les valeurs de
30. On obtient un autre s^'stème de formules qui permet également de calculera,, et 6„ et que l'on peut considérer comme un système d'intégrales premières des équations aux diflTérences finies (26).
Il s'obtient en exprimant que le polynôme
il J V» - e„ e„-, 1= [( /n- fil )ar« ^ «„ ar -H p„ ]* est exactement divisible par
De là résultent les relations suivantes :
anbn-i-^- bnan-i = 2a„3„— 6^(7H- [*)«„— A/»(/l -4- 2{l),
Il est important de remarquer que Ton a ainsi trois relations pour déterminer a» et b„; d'où cette conséquence que, sî l'on pose
A est une racine d'une équation du second degré de la forme
PX2^2QX-hR = o,
^" ^> Q> R sont des fonctions rationnelles de gj A, a,,, p,„ ces deux dernières quantités étant elles-mêmes des fonctions rationnelles de g et de h.
L'autre racine de l'équation est évidemment la valeur de ^.
Il résulte de là, eu particulier, que Texpression
