SUR UN ARTICLE DE M. CAYLEY

Nouvelles Annales de Mathématiques; 1870.

M. Cayley attribue à M. Casey Télégant théorème qui permet de construire la courbe de pénombre comme Fenveloppe d^une série de cercles; j'ignore dans quel Mémoire et à quelle époque M- Casey a énoncé cette propriété; je croîs devoir toutefois rappeler que M. Moutard Pavait fait connaître dès 1862.

A cette époque, il avait énoncé la proposition suivante :

Toute anallagmatique du quatrième ordre (quartique bicirculaire de M. Cayley) peut être considérée de quatre façons différentes comme V enveloppe de cercles coupant orthogonale^ ment un cercle fixe, tandis que leurs centres décrivent des coniques; les quatre coniques au moyen desquelles on peut engendrer ainsi la courbe sont homofocales (*).

J'ai démontré très simplement, dans une Note insérée au Bulletin de la Société philomathique sur les courbes résultant de l'intersection d'une sphère et d'une surface du second degré (mars 1867), que la projection sléréographique d'une courbe de cette espèce pouvait être, comme l'indique la proposition de M. Moutard, regardée comme l'enveloppe de cercles.

Je reproduis ici cette démonstration.

Considérons une courbe K résultant de l'intersection d'une sphère S, par une surface du second degré. On peut, par cette

( ' ) Voir la Note : Sur les arcs des courbes planes et sphérigues considérées comme enveloppes de cercles; par M. Mannheim {Journal de Liouville, 1862) et ma Note intitulée : Théorèmes généraux sur les courbes planes {Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, i865).