L. - II. ç

l3o GÉOMÉTRIE.

On déduit de là

sin (o '

La valeur du segment N étant déterminée par la relation préi dente, on aura alors cette proposition, que l'expression (i), chacun des points de la courbe, sera une quantité inOniment pet du cinquième ordre.

L'équalion (2) peut se mettre sous la forme suivante :

àS 9. dr. — dît} I dp N 3 tan^(o ' 3 p *

p désignant le raj^on de courbure de la section normale tangente la directrice.

Si la courbe considérée est une ligne de courbure ou une lign géodésique, on a dans les deux cas

dT^ — dio

tanj^di

La valeur de N est donc, dans les deux cas, proportionnelle à la racine cubique de p.

De là une propriété géométrique commune, on le voit, aux lignes géodésiques et aux lignes de courbure pouvant servir à les définir et qui correspond à Téquation différentielle commune à toutes deux découverte par Joachimsthal.

Les quantités N définies par Téquation (2) jouissent de la propriété suivante :

Si, sur une surface, on considère les diverses courbes qui se touchent en un point M, pour toutes ces courbes l'expression

^ d\ ^^ ï 3rfrj I , ^P

?i ds ds tangdi ds tangc» p ds

a une valeur constante au point considéré.

SUR

QUELQUES PROPRIÉTÉS DES CONES ALGÉRRIQUES.

Bulletin de la Société philomathique ; 1870.

1 . Les propriétés des cônes algébriques, que je veux développer icî, résultent de l'extension à Tespace de quelques propriétés des courbes planes que j'ai publiées dans ma Note intitulée : Théo^ rèmes généraux sur les courbes planes algébriques, et insérée dans les Comptes rendus (janvier i865).

La propriété sur laquelle je m'appuierai peut s'énoncer ainsi :

<( Si d'un point M situé dans le plan d'une courbe de classe /z, on mène les n tangentes à la courbe, et si Ton joint le point M aux n foyers réels de cette courbe, les deux faisceaux de droites ainsi obtenus ont même orientation. »

D'où la conséquence suivante :

« Les choses étant posées comme dans la proposition précédente, le centre harmonique des points de contact des tangentes, relativement au point M, est le même que le centre harmonique des foyers réels relativement à ce même point. »

Je ferai observer que ces propositions subsistent encore évidemment quand, au système des n foyers réels, on substitue un système quelconque de foyers indépendants.

Les théorèmes précédents peuvent, dans le plan même, être généralisés de diverses manières. Je ne citerai ici qu'une des généralisations dont ils sont susceptibles.

Soient deux courbes A et B qui soient respectivement de classe m et de classe /2, imaginons les mn tangentes communes que l'on peut mener à ces courbes et les mn droites qui joignent

l3a GÉOMÉTRIE.

chacun des foyers réels de A aux foyers réels de B; celaposéy Ton peiil énoncer le théorème suivant :

Le faisceau formé par les mn droites dont je viens de pa^'^^^ et le faisceau formé par les mn tangentes communes ont méf^^^ orientation.

D'où la conséquence suivante :

(( Désignons par aby a! b\ ... les tangentes communes, ae^

désignant respectivement les points où la tangente ah touche ^^

et B; désignons en outre par a, a', a'' . .. les Io^^t% de A et par ^^\

P', ^"j ... les foyers de B; cela posé, la moyenne harmoniq^-

entre les longueurs

a6, cûb\ a'b'

est la même que la moyenne harmonique entre les longueurs

Pour l'expression de moyenne harmonique, je renverrai à m Note Sur la détermination du rayon de courbure {Bulletin rf la Société pliilomathique, janvier 1867).

2. Soit un cône algébrique K de classe n ayant pour sommet le point S. Considérons les plans isotropes tangents à ce cône, je veux dire par là les plans tangents à ce cône qui sont en même temps tangents au cône isotrope ayant pour sommet le point S.

Le cône K étant supposé réel, ces plans passent deux par deux par n droites réelles qui suffisent complètement pour déterminer les plans isotropes tangents au cône.

Ces n droites sont les focales réelles du cône; il y a lieu, dans certains cas, de distinguer les focales ordinaires et les focales singulières; mais ici, cette distinction est inutile.

Cela posé, on a la proposition suivante :

Si par une droite passant par le sommet d'un cône de classe ny on mené les n plans tangents à ce cônCy et si l'on mène des plans par cette droite et les n focales réelles, le faisceau des plans tangents a même orientation que le faisceau des plans qui passent par les focales.

SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS DES CONES ALGÉBRIQUES. l33

Deux cônes, ajant même sommet et circonscrits à deux surfaces 'looiofocales, sont eux-mêmes homofocaux.

Cou cette conséquence :

« Étant données deux surfaces homofocales, les faisceaux de P^^os, qui passent par une même droite et sont respectivement ^^ïïgents à chacune des surfaces, ont même orientation. »

3 . Soit un cône réel K de degré m ; le cône isotrope ayant même ^^ïTimet le coupe suivant 2 m génératrices; ces génératrices sont ^^^Mées deux à deux dans m plans réels.

Je désignerai ces plans sous le nom de plans cycliques du cône.

I-.eur propriété principa]e est contenue dans la proposition sui- ^^^«ite :

-S/ ron coupe un cône par un plan quelconque passant par *<^^ sommet, le faisceau de droites communes au plan et au ^^#ie et le faisceau de droites suivant lequel le plan coupe les ns cycliques de ce cône ont même orientation.

4. La même proposition peut s'énoncer d'une façon un peu dif- 'VS rente.

Soit une courbe plane C de degré m et un point S situé d'une ^^çon quelconque dans l'espace. Le cône isotrope ayant pour Commet S coupe le plan de la courbe suivant un cercle qui a ^ m points communs avec la courbe.

Si l'on suppose la courbe réelle, ces 2m points sont situés sur

n% droites réelles que je désignerai sous le nom de droites con~

/ointes de la courbe relativement au point S, en employant une

expression dont s'est déjà servi M. Chasles à peu près dans le

même sens.

Cela posé, on a le théorème suivant :

Menons dans le plan de la courbe C une droite quelconque; soient a, a', a"^ ... les points où elle coupe la courbe, soient 6, 6', b'y ... les points oit elle coupe les droites conjointes relatives au point S; le faisceau de droites ayant pour sommet le point S et passant par a, a', a", ... et le faisceau de droites ayant même sommet et passant par 6, b\ 6", • . • ont même orientation*

Ces diverses propositioDS peuvent être considérées comme a extension de ce théorème bien connu de géométrie plane :

Si l'on mène une droite dans le plan d'une courbe alg* brique, le centre des moyennes distances des points où elà coupe la courbe est le même que le centre des moyenn^-^ distances des points oit elle coupe les asymptotes de la courba' -

5. Étant donnés un cône de degré m et les m plans cycliques -^ supposons que ces plans se coupent suivant une même droite D— -

Cette droite jouit évidemment de la propriété suivante :

(( Si Ton coupe le cône par un point quelconque passant parD, la somme des angles que font avec cette droite les génératrices d^intersection est nulle, quel que soit le plan sécant. »

Je dirai, dans ce cas, que la droite D est un axe de moyenne orientation du cône.

Un cône, en général, n'a pas d'axe qui jouisse de cette propriété; les cônes du second degré, comme on le sait, en ont trois; mais déjà ceux du troisième degré n'en ont que dans certains cas particuliers.

6. Étant donnée une courbe plane C du troisième degré, on peut faire passer par celte courbe une infinité de cônes du troisième degré qui aient un axe de moyenne orientation.

Il suffit, en eflet, de construire des cercles coupant C en six points distribués deux à deux sur trois droites concourant en un même point, ou, en d'autres termes, de telle façon que les six points d'intersection soient en involution.

Étant donné l'un quelconque de ces cercles, construisons les sommets du cône isotrope qui passe par ce cercle; chacun de ces points est évidemment le sommet d'un cône passant par C et ayant un axe de moyenne orientation.

Assujettir un cercle ù couper une courbe de troisième ordre en six pomts en involution, c'est l'assujettir à une seule condition.

Donc :

Etant donnée une courbe du troisième ordre, on peut, par cette courbe, faire passer une infinité de cônes ayant un axe

SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS DES CONES ALGÉBRIQUES. l35

de moyenne orientation; les sommets de ces cônes sont situés sur une surface.

Je me propose, dans une Communication prochaine, d^éludier celle surface; je ferai seulement remarquer ici qu'elle contient nécessairement la focale de C, je veux dire la ligne double de la développable isotrope circonscrite à C.

7. Considérons une courbe de quatrième degré. Assujettir un cercle à la couper en huit points situés deux à deux sur quatre droites concourantes, c'est Tassujettir à deux conditions.

Donc :

Étant donnée une courbe du quatrième ordre, on peut, pur cette courbe, faire passer une infinité de cônes ayant un axe de moyenne orientation; les sommets de ces cônes sont situés sur une courbe.

8. On verrait de même que, par une courbe du cinquième degrc, on ne peut faire passer qu'un nombre limité de cônes ajant un axe de mo}^enne orientation.

Dans ce qui précède je n'ai, pour plus de clarté, parlé que des plans cycliques réels; mais il est clair que tout ce que j'ai dit s'applique à un système quelconque de plans cycliques indépendanU.