EXTRAIT D'UNE LETTRE A M. BOURGET

Nouvelles Annales de Mathématiques; 1870.

Pcrmeltez-moi d'ajouter aux beaux théorèmes de Steiner et de M. Cremona, démontrés par M. Painvin, quelques propositions nouvelles, et fondamentales dans la théorie de rhypocycloïde ; elles se déduisent très facilement des théorèmes généraux que j^ai donnés dans les Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences {Théorèmes généraux sur les courbes planes algébriques, janvier i865), et dans le Bulletin de la Société philomathique {Sur la détermination du rayon de courbure des lignes planes, février 1867); j'en ai déduit, du reste, les principales conséquences relatives à l'hypocycloïde, dans le cours que j'ai professe cet hiver à la salle Gerson.

Les deux propositions fondamentales auxquelles donne lieu cette courbe sont les suivantes :

Théorème I. — Les trois tangentes que, par un même point, on peut mener à Vhypocycloïde font, a^^ec une quelconque des tangentes de rebroussement, des angles dont la somme est un multiple de ir.

Théorème II. — Si, par un point P, on mène trois tangentes à Vhypocycloïde, et si Von désigne par A., B, Cj les trois points de contact; si, sur le prolongement d\ine quelconque de ces trois tangentes PA, on prend un point h! tel que PA' soit le double de PA, les quatre points P, A', B, G sont sur une même circonférence et partagent harmonique ment cette circonférence.

Voici quelques conséquences de ces propositions :

Soit une droite touchant la courbe au point M, et la coupant

EXTRAIT d'une LETTRE A M. BOURQET. iSg

en P et R. Si Ton désigne par S Tinclinaison de celle droite sur

une quelconque des tangentes de rebroussement, et parnr rincli-

Daison, sur celte tangente, de la tangenle en P, on aura, en vertu

du théorème I,