t- ap = multiple de r

on déduit de là

2(Tn — p) = multiple de ti.

D*où Ton voit que

m — p = o. ou bien = — .

Deux tangentes à l'hypocycloïde ne pouvant être parallèles, on a

Donc les tangentes aux points P et R sont perpendiculaires entre

elles,

(considérons maintenant les trois tangentes PA, PB et PC issues " "û même point P, et supposons que deux d'entre elles, PB et PC, soient rectangulaires; si nous prolongeons AP d'une longueur double d'elle-même au delà du point P, rextrémité A' du segment ^^nsi obtenu sera sur la circonférence passant par les points P, B, S et sur cette circonférence sera le conjugué harmonique du point P; mais, d'après les propriétés bien connues de la division

harmonique sur un cercle, l'angle BPC étant droit, la ligne BC est • perpendiculaire sur PA', c'est-à-dire sur PA.

Donc, si deux des tangentes issues d'un point P sont rectangulaires, la corde des contacts de ces deux tangentes est perpendiculaire à la troisième tangente issue du même point.

Vos lecteurs trouveront peut-être quelque intérêt à rapprocher ces démonstrations géométriques des démonstrations analytiques données par M. Painvin,

IJO GÉOMÉTRIE.

On peut ajouter ici la proposîlioQ suivante, remarquable par sa I simplicité et son élégance :

Si d'un point A de fhypocj'ctordc, on mène à la courbe la tangente dont le point de contact ne coïncide pas ai^eck;en désignant par T /e point de contact de cette tangente, si Pon prolonge TA d'une longueur égale à elle-même, le point T, extrémité de ce prolongement, est le foyer de la parabole qui suroscule en A Vhypocycloïde.