I. — Considérations préliminaires

1. Je me propose, dans celte Note, d'élendre au cas de l'espace et de développer les considéralions que j'ai exposées d'une façon soccincte dans mon Mémoire de géométrie analytique inséré àznsXe Journal de Liouville (janvier 1872).

Considérons, dans l'espace, une figure rapportée à un système quelconque de coordonnées rectangulaires, x^ y et z étant les coordonnées par rapport à ce système d'axes d'un point M de la figure. S désignant une surface algébrique quelconque de classe n, si Ton imagine le cône circonscrit à cette surface et qui a pour sommet le point M, on voit que ce cône est un cône algébrique de n**"* classe. Un plan tangent à ce cône sera tangent à la surface, et si l'on appelle i, r^, 2^ les cosinus des angles que fait avec les axes la normale à ce plan, ces quantités satisferont à une équation du n**"** degré, homogène par rapport aux trois variables,

Les coefficients de cette équation sont des fonctions données des variables x^y ei z] et il est facile de voir que ces fonctions ne peuvent être choisies arbitrairement.

De ce qui précède il résulte, en effet, que X, Y, Z désignant les coordonnées courantes,

est Téquation d'un plan tangent à S ; le point où ce plan coupe

l84 GÉOMÉTRIE.

l'axe des z est déterminé par l'équation

ce point étant donné, les rapports I et p sont reliés entre eux par

une équation du degré n.

La forme générale de l'équation (i) est donc

la caractéristique ^ désignant un polynôme entier quelconque du degré n. En mettant seulement en évidence les ^, 7^, 2^, je Técrirai ordinairement sous la forme (i), et je l'appellerai Véquation mixte de la surface S .

On peut interpréter cette équation d'une façon un peu différente; si l'on suppose un système d'axes rectangulaires parallèles aux premiers axes et dont l'origine mobile soit transportée au point M; en appelant Ç, r;, Ç les coordonnées relatives à ce nouveau système d'axes, l'équation (i) représente le cône supplémentaire du cône ayant pour sommet le point M et circonscrit à S.

2. Il est facile de passer de l'équation tangentielle d'une surface à son équation mixte. De cette dernière équation on déduit immédiatement son équation en coordonnées cartésiennes; en effet, pour un point de la surface le cône supplémentaire au cône circonscrit à la surface et dont l'équation est

a une arête double; ou, si l'on veut, la courbe K que représente l'équation en coordonnées triangulaires a un point double. On obtiendra donc l'équation de la surface en coordonnées cartésiennes en égalant à zéro le discriminant de la forme ternaire F. Ceci se rapporte au cas général; mais, si la surface S avait une ligne de contact multiple avec une développable, la courbe K aurait constamment un certain nombre de points doubles; et l'équation cartésienne de la surface s'obtiendrait en écrivant la condition nécessaire et suffisante pour que K ait un point double de plus, c'est-à-dire en égalant à zéro la fonction des coefficients que M. Cayley appelle le discriminant spécial de la courbe.

SUR LES SURFACES ALGÉBRIQUES. l85

3. Je représenterai les surfaces que j^aurai à considérer par leurs équations mixtes. Ces équations mixtes s*obtiennent en égalant à zéro des formes ternaires en ^, t^ et 2^; les coefiicienis de ces formes sont des fonctions de x, y^ z^ assujetties à satisfaire à certaines conditions,, dont il faudra dans beaucoup de cas tenir compte.

On peut toutefois les laisser souvent de côté en s'appujant sur la proposition suivante :

Etant donné un nombre quelconque de surfaces dont les équations mixtes soient

si l'on désigne par I un im'ariant quelconque de ce système de

formes, V équation

représente une surface dont le degré est indiqué par le poids de Vimariant.

Les contrévariants (simples ou multiples) des formes représentatives des surfaces s^introduiront d^eux-mémes quand on considérera un certain nombre de points en même temps que ces surfaces.

Soit en effet un point M dont les coordonnées soient a, ^ et y; si nous posons, pour abréger,

Téquation mixte du point M est

X5-hYT)-hZ; = o;

et les invariants simultanés de cette forme et du système de formes donnés sont dés contrévariants de ce système.

4. Au point de vue où je me place dans cette Note, Tétude d'un système de surfaces consiste dans Tétude des formes ternaires qui, égalées à zéro, fournissent leurs équations mixtes et dans l'étude des surfaces que représentent leurs divers invariants.

Les contrévariants (simples ou multiples) de ces formes interviennent quand on adjoint à ces surfaces un certain nombre de points.

l86 OÉOMBTRIE.

Quant aux covariants, ils jouent un rôle dislincl et moini important.

3. Si Ton considère deux surfaces, leurs équations mixies (en considérant les Ç, r,, JJ comme variables) représenteront deux courbes planes.

En exprimant que ces deux courbes sont tangentes, on obtiendra l'équation de la dévcloppable circonscrite à ces deux surfaces; en exprimant que ces deux courbes ont un double contact, on aura les équations de la ligne nodale de cette dévcloppable. Son arête de rci)roussement s'obtiendra en exprimant que les deux courbes sont oscillatoires.

Étant données trois surfaces, le résultant de leurs équations mixtes égalé à zéro donnera les équations de leurs plans tangents communs; de même le résultant des réciprocants de ces équations donnera Téquation de la surface réglée qui leur est circonscrite.

6. Pour prendre Texemplc le plus simple, Téquation d'une surface du second ordre S étant

où F désigne un polynôme homogène et du second degré par rapport aux ^. 7,. ^; si Ton appelle G la forme adjointe à F, on voit que le ciVne, circonscrit à la surface et qui a pour sommet un point donné M, a pour équation

GiX,Y,Z) = o.

SI, 2, 3. Y étant les coordonnées du point M, on pose pour abréger

Soit un second point M' dont les coordonnées soient a', ?' d V ; en posant

X=x-a'. Y=r-3-. Z'=5 — v' Féquation

où Ton voit figurer l'émanant (contrevariant double) de G, reprë-