DES HAYONS DE COUKBLKE DES SECTIONS PLANES
DES
SURFACES ANALLAGMATIQUES.
Bulletin de la Société philomathiqut; 1871.
1. l'.oiisitlôrons \\\\v oourhe plane K ; soient m le nombre des hraïu'lios ilo ootlo courbe qui se croisent eu chacun des ombilics du |d;in, et n lo nombre dos points distincts des ombilics où la courbe est rcnconlrêc par la droite de 1 infini.
('.clic courbe a m fovcrs siniiuliers F,, F^, etc. Si un angle droit se nicul lie telle façon qu'un de >es côtés passe par un point fixe P du plan, tandis que son sommet décrit la courbe K, le second cote ilc Tan^lc cnxeKqqtc une cnurbe H. dont la classe est égale à i ytn ■ n .
r.ctlc courbe * a ;
1 \to\cr> >itucs à 1 intini et sur des directions perpendiculaires aux ^v-^xînptxMo de la courbe K qui ne sont pas isotropes;
r' l u i\»\cr multiple au point tixe P, qui compte pour (m-^-n) toxcr^ :
.^ ••; .u;îvv> tx*\^':> i.'i., G,, ^ U". qut ton obtient enjoignant le ro:u: r .vi;\ i\^\t:> ^•.i\i:..lu'r> de K. \l en i^n>lon£;eant d'une Ioni; xi c ;; v x ^ a \* a c *. . x - î v. « : v. 0 v" :: .\ c ;î r. i' : t* s d rv :: es a i n si obten ues.
2. Soit M un point quelconque du plan; sur MP comme diamètre décrivons une circonférence. Celte circonférence rencontre K en 2{m-\-n) points rf, et les 2 (/n + Ai)droitesMrfsontles tangentes que l'on peut mener du point M à la courbe H.
En un de ces points rf, menons le cercle qui, passant par P, touche K; le point T où ce cercle rencontre M d est le point de contact de cette droite avec H.
Je rappellerai ici le théorème que j'ai donné (Journal de V Institut et Bulletin de la Société philomathique, février 1867 : Sur la détermination du rayon de courbure des lignes planes) :
Si, par un point M pris dans le plan d'une courbe plane de classe /i, on mène les n tangentes à la courbe, le centre harmonique du point M relativement aux n foyers réels est le même que relativement aux n points de contact.
Si l'on applique le théorème précédent à la courbe H, en remarquant que l'on ne doit tenir aucun compte des foyers situés à l'infini, on trouve l'équatiou suivante :
2 MT = "' -^ " SfP -^ 21 ÂIG
équation symbolique, où
désigne une grandeur géométrique égale en valeur absolue à l'inverse de MT et ayant pour direction la direction de cette droite.
3. Je me bornerai aux applications les plus simples de la formule précédente. Il serait facile devoir comment les résultats suivants peuvent s'appliquer à une courbe quelconque.
Supposons, en particulier, que la courbe K ne rencontre la droite de rinfini qu'aux ombilics, en sorte que l'on ait
Je désignerai, pour abréger, une telle courbe sous le nom de courbe cyclique.
l8o OÉOMÉTRIE.
Par UDC transformation facile on déduira de la formale précédente le théorème suivant :
Si l'on coupe une courbe cyclique par un cercle C et si, en chacun des points d'intersection, on mène un cercle touchant la courbe et passant par un point fixe P pris sur C, le centre harmonique du centre de C relativement aux centres de ces cercles est le même que le centre harmonique du même point relativement aux foy ers singuliers de la courbe et au pointV^ ce dernier étant compté mjois, 2 m désignant le degré de la courbe.
4. En particulier, le cercle sécant peut se réduire à une droite, et Ton a la proposition suivante :
Etant donnée une courbe cyclique de degré 2/11, une droite quelconque la coupe en 2//1 points: si, en chacun de ces points, on mène un cercle qui touche la courbe et qui passe par un point fixe P situé sur la droite, le centre des moyennes distances des centres de ces 2 m cercles est le point milieu de la droite qui joint le point P au centre de la courl>e.
Remarque. — J'appelle ici centre de la courbe les centres des movonnes distances de ces m fovers sin<rulîers.
o. Pour abréger, dans ce qui suit, je représenterai par la notation
lo cenlro dos movenno> distances des points a* b^ c
i^'l.i posé, appliquons ce qui précède à une anal lagma tique \ oourbo c\ clique du quatrième or\lre\
Euint dontu'os une aualla^maliquo et une droite qui la coupe aux points »/, /», 0 et </. prenons sur cette droite un point quelcouvjuo m. Soient x, ^, ^ et 0 Io> centres des cercles qui, passant par lo point m. touoiiotit ranallagniatiquo aux points donnés.
D*apri*s 00 q«o j*aî dit ci-do>>u>. Ton a
C di'>;^uant lo couîro vio ranalla^iuatique, c'est-à-dire le point milioM do ta drv>i:c oir • .:.: >^> .icux îV^^ors singuliers.
SUR QUELQUES PROPRIETES DES COURBES ALGEBRIQUES. l8l
Supposons que le point m se confonde avec le point a, a se confond aussi avec ce dernier point, et l'on a
('w, p,Y, o) = (2m, 2G), d'où
Si maintenant la droite donnée touche Tanallagmatique au point m, il est clair que le point ^ devient le centre |jl du cercle osculateur de la courbe au point m ; on a donc, y et 8 désignant les centres des cercles qui passent par m, et touchent ranallagmalique aux deux points où elle est coupée par la tangente en m,
soit i le point milieu du segment yS, on aura
({ji,2r) = (m,2C).
D'où cette conclusion :
« Soit C le centre d'une anallagmatique, la tangente en un point m de cette courbe la rencontre de nouveau en deux points c et d', soient y et S les centres des cercles qui, passant par le point /n, touchent la courbe en c eX. d et i le point milieu du segment yS; cela posé, si, par le point m, on mène une droite parallèle à * C, dirigée dans le même sens et de longueur double, l'extrémité de cette droite est le centre de courbure de l'anallagmatique au point m ».
6. Appliquons ce qui précède aux surfaces anallagmatiques (du quatrième ordre); je m'appuierai principalement sur la propriété suivante :
En appelant centre d^une surface anallagmatique le centre commun aux trois coniques qui constituent ses focales singulières, toute section plane de la surface est une anallagmatique plane ayant pour centre la projection sur le plan sécant du centre de la surface.
Cela posé, soient M un point de cette surface et une tangente MT passant par ce point; soient P et Q les points où cette droite rencontre de nouveau la surface, p et q les centres des sphères qui, passant parle point M, touchent la surface en P et Q.
iHj géométrie.
Si par la droite MT nous menons un plan sécant quelconque, il coupe la surface suivant une courbe à laquelle on peut appliquer les théorèmes précédents; remarquons maintenant que le centre de celte courbe est la projection sur le plan sécant du centre delà surface, que les centres des cercles qui, passant par le point M, louchent la courbe en P et Q, sont les projections des centres des sphères, qui passent par le point M et touchent la surface enP etQ.
D'où les propositions suivantes :
ÏHÉORKME I. — Etant donnée une surface anallagmatiqut et une droite qui la rencontre aux points a^ 6, c, rf; soit pris sur cette droite un point quelconque M; soient, de plus, a, ^, ^ et ù /es centres des sphères qui, passant par M, touchent la surface en a^ b, c et d.
/^' rentre des moyennes distances des points a, ^^yeto est le point milieu de la droite qui Joint les deux points M et C, C dés i fanant le centre de la sur/ace.
Théorème II. — Soient M un point quelconque d'une surface anallagmatique et une droite quelconque MT qui touche la surface en ce point: la droite MT rencontre la surf ace en deux points distincts du point M; soient ol et p les centres des sphères qui. passant par le point M, touchent en ces deux points la surface, et I le milieu du sarment a3.
Cela pose\ si. par le point M, on mène une droite parallèle à 10, diri:rée en sens imerse et de longueur double, Vextré^ mité de cette droite est le centre de courbure cfe la section faite dans la surface par lepùin normal passant par MT.
