SECTION I

ÊQI'ATION MIXTE d'I'NE COURBE.

1. Je supposerai, dans tout ce qui va suivre, les diOTérentes figures que j'aurai à considérer rapportées à un système de coordonnées reclilignes quelconque.

Soient une courbe arbitraire C tracée dans un plan, et M an point quelconque do ce plan; j'appelle x Ql y ses coordonnées.

Menons du point M une tangente à la courbe, et soit k le coefficient angulaire do cette tangente; la quantité k (qui géDéralement est suscopliblo de plusieurs valeurs) est une fonction des coordonuoes variables j^ et v.

Celte lonolion, il est facile de le voir, ne peut être prise arbitrairomont et doit satisfaire à une équation aux diiFérences parliellos linéaire et du premier ordre, qu*on peut établir de la façon suivante.

Appelons, pour un instant. X et Y les coordonnées courantes do la lan^onlo moRée du point M à la courbe; son équation sera

Il Y — y -= k\\ — J" ».

Pour quo los ditVoronles droites roprôsenlées par cette équation, lorsqu'on y fait varier x et w en\oloppenl une courbe, il faut cl il suffit que la droite obtenue, on remplaçant le point M par un point tntinimont \oisin, coupe la première en un point fixe, quelle quo soit la direction du dôpiacement: il est clair, d*ailleurs, que ce point tî\e est le point do contact de la tangente avec la courbe. Difle routions sucoossix ornent IVq nation < lU par rapport à x

et y^ en supposant X et Y constantes; il vient

-o = g(X-^)-A- et . = |(X-.).

D'où, en éliminant X — x entre ces deux relations,

dk , dk

dx dy

Telle est l'équation aux différences partielles à laquelle doit satisfaire la fonction A:, pour qu'elle représente le coefficient angulaire d'une tangente menée du point (j7, y^ à une courbe quelconque tracée dans le plan.

Cette équation a pour intégrale générale

y — kx=f(^k\

la caractéristique y désignant une fonction arbitraire de la variable ; et telle est, en termes finis, la relation à laquelle doit satisfaire Ar. Il est facile de trouver directement cette relation. En effet,

étant l'équation de la tangente menée du point M à la courbe, y — kx est l'ordonnée du point où cette tangente coupe l'axe des y\ la valeur de cette ordonnée ne dépend évidemment que de la valeur de k. On a donc

y-kx^f{k),

2. Lorsque la courbe donnée est algébrique, /(/r) est généralement une irrationnelle susceptible de m valeurs et racine d'une équation algébrique de degré m. Cette équation est d'ailleurs irréductible si la courbe ne se décompose pas en courbes de degré inférieur.

k satisfait donc à une équation de la forme

(a) Ao(^ — A:a7)'«-+- Ai(^ — kx)"^-'^ -+-. . .-h >^m-x{y — kx) -+- A;„ = o,

Aq, A|, . . ., A;» désignant des polynômes entiers en k d'un degré quelconque.

Le nombre m indique combien on peut mener de droites tangentes à la courbe et parallèles à une direction donnée. Quant à

KJO

la classe de la courbe, elle est indiquée par le degré en k de Téquation précédente, degré qui est généralement égal à m, mais qui peut lui être supérieur lorsque la courbe esl langente à la droite de l'infini.

Ce cas ])arliculier mis de côté, on voit que, dans Téqualion (2), Ao esl un nombre que l'on peut supposer égal à Tunité, et A|, Aa, . . ., Am des polvnomes entiers en k et respectivement des degrés i , 2, . . . , m.

Si, pour rendre Téquation homogène, nous posons

on voit que la relation précédente peut être mise, pour une courbe de classe n, sous la forme

o =: (X^ — fia-)"-!- /i(AX H- Bfx)(X^ — {xar)»-* (3) ; ^^!j:iZlO(3jX«-f-2?XHL-f-Y|x«)(X^-fxar)'-»-i-...,

ou encore, en réunissant dans un même terme les coefficients de la même puissance de X,

aX'»-h nb'k'*- »îA-i- — ^-^^^cX«-»ix« — ...-4-/iAXu«-»-+- AriJL«=o.

3. La relation précédente, qui, pour chaque point du plan, donne les coefficients angulaires des tangentes que Ton peut mener de ce point à une courbe donnée, définit complètement cette courbe.

Je la désignerai, dans tout ce qui suit, sous le nom à* équation mixte de la courbe.

Luc telle équation s'écrira de la façon suivante :

F(^, JA, Xj' — |ix) = o,

F dési^mant une fonction homogène et entière, mais du reste entièrement arbitraire, des trois variables que comporte son expression; ou encore, en mettant seulement en évidence les variables X et a,

/désignant une fonction homogène de ces variables.

Le plus souvent, pour mettre en évidence les coefficieuls du polynôme fQ^j jx), j'emploierai la notation commode de M. Cay-

ley, en désignant par

^ («, ^c, ...j[X, fi)«

le polynôme

en sorte que Féquation mixte générale des courbes de la classe n

sera

(a, 6, c, . . .{X, jji)« = o.

4. 11 est facile de passer de l'équation d'une courbe en coordonnées tangentielles à son équation mixte. En effet,

étant l'équation d'une droite quelconque tracée dans le plan, Inéquation tangentielle d'une courbe est la relation, homogène par rapport aux trois variables,

à laquelle doivent satisfaire ^, t; et 2^ pour que la droite soit tangente à la courbe. Si l'on déduit de l'équation de la tangente la valeur de son coefficient angulaire et la valeur de l'ordonnée au point où elle coupe l'axe des yj on obtient les deux relations suivantes

d'où

en substituant ces valeurs de ^, t^ et 2^ de l'équation précédente^ il

\îent

*(X, fJi, X^ — liar) = o,

équation de la courbe donnée.

Dans le plus grand nombre de cas, il sera plus commode de calculer directement l'équation mixte d'une courbe, que de la tirer de son équation tangentielle. Mais je veux déduire, de ce qui précède, une conséquence très simple qui nous sera utile par la suite.

IQa GEOMETRIE.