Considérons plusieurs courbes dont les équations tangen

tielles soient

et une autre courbe dont Téquation s'obtienne en égalant à 3céro une fonction entière des polynômes qui forment les premiers membres des équations précédentes, et soit par exemple

(jcla posé, il résulte immédiatement de la proposition précédente que

Jl = o, ï = o, C = o

étant les équations mixtes des premières courbes, Péquation mixte

de la dernière est

Ainsi, Téquation mixte générale des courbes de n*""* classe inscrites dans un pol)'gone de n^ côtés est

p désignant un coefficient arbitraire et

représentant deux quelconques de ces courbes.

6. De l'équation mixte d'une courbe il est facile de déduire son équation en coordonnées cartésiennes.

En effet, soit /Q., jjl) = o cette équation; la courbe est évidemment le lieu des points d'où l'on peut lui mener deux tangentes coïncidentes. Donc, si l'on désigne par A le discriminant de la

forme /()., [x),

est l'é(|ualion de la courbe en coordonnées cartésiennes.

On retrouve ainsi la méthode donnée par M. Cayley pour passer de Téqualion d'une courbe en coordonnées tangentielles à son équation en coordonnées cartésiennes.

Ce qui précède suppose que la courbe n'a pas de singularités. En effet, si elle a une tangente double ou une tangente d'inflexion^ on voit que chaque point de l'une quelconque de ces droites jouit

de la propriété que deux des tangentes que l'on peut mener de ce point à la courbe se confondent; chacun de ces points satisfait donc à l'équation précédente.

Pour s'en tenir aux singularités ordinaires, on voit que si l'on désigne par U = o l'équation (cartésienne) de la courbe, par T = o Féquatidn de l'ensemble des tangentes doubles et par I = o Féquation de l'ensemble des tangentes d'inflexion, on a

A = UTM«.