SUR LES FORMULES FONDAMENTALES DE LA THÉORIE DES SURFACES

J^aî introduit dans ce Tableau la valeur de tangi, en fonction de u et de v.

On a ainsi, en A, B, C, toutes les formules fondamentales relatives au cas où les courbes [u) et (r) sont orthogonales.

Il resterait à prouver que, si les fonctions M, N, P, Q, R, S, E, G satisfont aux équations aux difTérences partielles contenues dans les Tableaux (B) et (C), ces fonctions déterminent effectivement une surface; pour cette démonstration, je renverrai au Mémoire de M. Bonnet, déjà cité.

Considérons maintenant le cas général; soit 2 0) l'angle sous lequel, en un point quelconque de la surface, se coupent les courbes (a) et (p) qui se croisent en ce point.

Nous choisirons les axes J/X et MY^ de telle sorte qu'ils coïncident avec les bissectrices de cet angle.

En désignant par ds un élément linéaire quelconque de la surface, posons

ds^= E*rfa'-i- aEG cosita.du dv -+■ G^dv^, d'où

dscosi = (Edu-h Gdv)costi>, ds s'in i = (E du — Grft')sinu>, et

dscosa = (Edu-h G dç) costo cosol -{- {Edu — G dv) sinwcosÇ;

je ne transcris pas les valeurs de dscosb et dscosc.

Si nous exprimons que ces trois dernières quantités sont des diflTérenti elles exactes, nous obtiendrons les relations contenues dans le Tableau suivant, où j'ai transcrit la valeur de tang£,

\dv rftt/tang(D~~ \ dv / \ du/^

(GR -+- EQ) sino) = (ES — GP) coso),

. Edu — Gdv ^ Edu-^Gdv ^

a68 aéoMimiE.

Les Tableaux (A), (B), (C) renferment tontes les formules fondamentales relatives an cas le plus général.

En terminant, je ferai remarquer que les considérations précédentes s^appliqnent, sans modiBcation, an cas de Tespace, lorsqu'on en détermine les points par les intersections successives de trois séries quelconques de surfaces.

Je reviendrai sur ce sujet.