Étant donnée une conique dont Téquation soit

j^appelle puissance d'un point par rapport à cette conique la valeur que prend le poljnome/(d:, ^), quand on substitue à a? et ky les valeurs des coordonnées de ce point; et je m'appuierai principalement sur les deux lemmes suivants, dont le premier est une conséquence immédiate d'un théorème bien connu de Newton, sur les transversales des courbes algébriques.

Lemhe I. — Soient M et M' deux points situés dans le plan d'aune conique, et a, p les deux points où la droite MM' coupe la conique; cela posé, les puissances des points M et M', relativentent à cette courbe, sont proportionnelles aux produits

Ma.Mp et M'a.M'^.

Lemme If. — Soient M et W deux points situés dans le plan d^une conique; si, par ces deux points, on mène un cercle quelconque qui coupe la conique en a, 6, c, d, les puissances des points M et M', par rapport à la conique, sont proportionnelles aux produits

Ma.M6.Mc.Me/ et Wa.WbM'c.Wd i^).

3. Cela posé, considérons un cercle et une conique se coupant aux points a, b, c et d. Imaginons une tangente mobile qui roule

sur la conique; soit T le point où elle touche cette conique, et M, M' les deux points où elle coupe le cercle.

Nous supposerons, pour plus de simplicité, le rayon du cercle pris pour unité, et nous fixerons la position de chaque point du cercle par Pangle que fait la droite, joignant le point donné à un point fixe O pris sur le cercle, avec la tangente Oa> menée au cercle en ce point.

La tangente mobile occupant une certaine position, déplaçons-la

infiniment peu; cp et cp' désignant les angles qui fixent les positions

des points M et M',

2 û?<p et 2 ef <p'

mesureront les arcs décrits par ces points, et Ton aura évidemment

d^ do'

MT ~ IvrT'

(» ) Voir, Comptes rendus de l'Académie des Sciences, janvier i865, ma Note Sur les propriétés générales des courbes algébriques, cl, Nouvelles Annales de Mathématiques, s* série, t. IX, p. i88, une Note de M. Grant intitulée : Démonstration d'un théorème de Géométrie,

gnons^ pour un instant, par

7r(M) et ir(M')

les puissances des points M et M' relativement à la conique; on a, en vertu du lemme I,

ir(M) "MT*

d'aulrejpart, en vertu du lemme II,

iziM) Ma,Mb.Mc.Md

7r(M') M'a.M'b.M'c.M'd* d'où l*on déduit

MT \/MaMbMcMd M'T "" y/M'a.M'bM'cM'd'

et, par conséquent,

/Ma.Mô.Mc.Mrf )/M'aM' bM'cM'd