Désignons par

les angles qui fixent les positions des points a, 6, c, t/ sur le cercle ; nous aurons

Ma=asîn(ç — a), M'a = 28in(ç' — a), ...;

et réquation précédente deviendra, en développant et divisant par cos^f,

dt&ngf

^( tangcp — langa) (iang(p — tang^) (tangç — tangY)(tang9 — tangS)

rftangy'

|/^(ung<p'— tangGi)(tang<p'— tangP)(tang9'— tangY)(tang<p'— iang8)'

OU encore^ en posant pour abréger

tangos a:, tang<p' = ^, tanga = A, tangP=B, ...,

dx

<'^ < dy

•a-A)(^-B)(^-G)Cr-D)

c'est TéquatioD difTéreDlielle dont Tétade sert de base à la théorie des fonctions elliptiques^ et qui a été intégrée pour la première fois par Euier.

5. Les considérations géométriques qui précèdent donnent immédiatement cette intégrale. On satisfait évidemment, en effet, à Téquation précédente [ou à Téquation (i)], si l'on suppose que les angles (p et o' correspondent à deux points M et M', tels que la corde MM' enveloppe une conique passant par les points a, 6, c et d; comme Téquation des coniques qui passent par ces points renferme une constante arbitraire, on voit que Ton a l'intégrale générale de Téqualion.

Considérons trois points quelconques a, b, c communs au cercle et à la conique; on sait que, MT désignant une tangente quelconque à cette conique, et (a), (b), (c) désignant les dislances à celte droite des points a, b, c, on a, quelle que soit la tangente, la relation

où X, [JL, V désignent des quantités constantes pour la même conique, mais qui renferment une quantité arbitraire, si Ton considère toutes les coniques qui passent par les points a, 6, c et d. Joignons aux points M et M' les points a, b et c; les aires des triangles MaM', M6M', McM', ajant même base, sont entre elles comme leurs hauteurs

les aires de ces triangles, dont les angles aux sommets sont égaux, sont entre elles comme les produits

aM.aM', bM.bM\ cM.cW; on a donc

(g) (b) (c) aM.aJVr " bM.bM ~ cM.cM'' D'où

X /aM.aM'-+- ^x y/bWJW-^ v v/cM.cM' = o,

et nous avons là l'intégrale générale des équations (i) et (i' ). En introduisant les angles ç, ^', a, ..., ou plutôt leurs tan-

gentes j^, a:, A, . . . , elle prendra la forme connue ( ' ) X •(r-A)(ar — A)-+- fx v/(^-B)(ar - B) 4- v /( j ^ G)(a:-G) = o.

6. La forme précédenle de Fintégrale, bien qu^élégante, a le défaut de ne pas mettre en évidence la constante arbitraire qui y entre et de ne pas contenir symétriquement les quantités Â, B, C, D.

Pour trouver une autre forme de l'intégrale, je prendrai pour point de départ la proposition suivante :

Théorème. — Soit une conique passant par quatre points a, ùj c et d d^un cercle; une tangente mobile roule sur cette conique. Si Von désigne par M et M' les deux points où, dans une de ses positions, cette tangente coupe le cercle, et si Con partage d'une façon quelconque en deux groupes a et i, c et d^ les quatre points communs au cercle et à la conique, le rapport