DANS LE PLAN ET DANS L'ESPACE

Bulletin de la Société philomathique ; 1873.

On peut représenter une forme binaire sur une ligne droite par n points de cette droite correspondant aux racines de Tëquation que Ton obtient en égalant la forme à zéro. On peut dans ce but employer aussi une courbe quelconque^ plane ou gauche, de genre zéro, et un grand nombre de propriétés du système de points situés sur cette courbe, que j'appellerai courbe fondamentale, se déduiront immédiatement de celles des formes quUls représentent.

La courbe fondamentale étant choisie, on pourra aussi d'une façon plus simple représenter des groupes de points (ou des formes) par un certain nombre d'élén>ents (points ou droites) qui pourront les déterminer; ce mode de représentation variera d'ailleurs suivant la nature de la courbe choisie.

Étant données deux formes du même degré /et ç, j'appellerai, pour abréger, faisceau de ces formes l'ensemble des formes comprises dans l'expression y* + X cp; un faisceau est évidemment déterminé quand on connaît deux des formes qu'il contient.

Pour éclaircir ceci par un exemple, prenons une conique H pour courbe fondamentale ; une forme quadrique sera déterminée par deux points de cette conique, ou bien, si l'on veut, par la droite qui joint ces deux points. C'est ce dernier mode de représentation que nous emploierons {voir à ce sujet un remarquable article de M. Weyr, sur Vinvolution de degré supérieur, Crelle, t. 72). Cela posé, on voit que toutes les formes quadratiques d'un faisceau

sont représentées par des droites concourant en un même point, qui représentera ce faisceau. D^où Ton déduit immédiatement que la propriété connue de Thexagone de Pascal peut s'énoncer algébriquement de la façon suivante :

Étant donnée une équation du sixième degré f {x) = o dont les racines soient a/, si Von pose pour abréger

^kh = (^ — «a) (a? — atjt),

on pourra déterminer six facteurs numériques\ jx, X', jx', X' et ^ de telle sorte que Von ait identiquement

X Au-4- p.A4j= X'Ajj-+- |i'Ase = X''As4-+- \>.'^\%.

Cetle propriété de six points d'une droite appliquée à une conique donne le théorème de Pascal; appliquée à une cubique, elle fournit à la fois des propriétés de six points quelconques de cette courbe (et par conséquent de six points quelconques de l'espace) et des propriétés de sept points quelconques situés sur cette cubique.

Dans ce qui suit, je considérerai spécialement une cubique gauche fondamentale K. Une forme quadratiqne sera déterminée par deux points de cette courbe et représentée par la sécante qui joint ces deux points. Les droites représentatives d'un faisceau de formes quadratiques sont les génératrices (sécantes de la cubique) d'une quadrique passant par K; une telle surface représentera donc un faisceau de formes quadratiques.

Cela posé, la propriété que je viens d'énoncer relativement aux racines de l'équation du sixième degré donnera immédiatement la proposition suivante :

Étant pris sept points 1 , 2, 3, 4? 5, 6, 7, sur K, il y existe une droite D (sécante de la cubique) qui rencontre les neuf droites contenues dans les deux tableaux suivants :

La droite D rencontre donc les six droites contenues dans le tableau E, ce qui fournit une propriété de six points quelconques

coa

AEPRSSENTATION DES FORMES BINAIRES DANS LE PLAN ET DANS L'eSPAGE. ^79

^c l'espace (celte propriété se rattache d'ailleurs à de belles pro-

/'ositîons données par M. P. Serret sur les cubiques gauches)^

L^^ tableau F montre en outre que la droite D ayant été déter-

^int^^ au moyen des points i, a, 3, 4> 5 et 6, tout plan sécant

^ewm^ par D rencontre les côtés de l'hexagone, dont ils sont les

^oiiCMrx-M cls, en six points situés deux à deux sur trois droites con-

:Kntes.

point de concours décrit, lorsqu'on fait varier le plan, la ^"*^^ ^=^ '^e gauche déterminée par les six points.

"■-^^^ :mis ce qui précède, 3 (12) (54) désigne la droite qui, passant par -1^^ point 3, rencontre les droites 12 et 54; les autres notations

Yie signification analogue, peut énoncer ces résultats de la façon suivante :

n hexagone étant inscrit dans une cubique, par la courbe

aque couple de côtés opposés de l'hexagone on peut faire

P ^^^-^ une quadrique; les trois quadriques ainsi obtenues ont

énéralrice commune qui est une sécante de la cubique. »

ODt.

et ^

un

pr

soc:-

mi

e forme cubique est déterminée par trois points de K; les

^ ^^ ^ osculateurs de la courbe en ces points passent par un point

j ^ ^^é, comme on le sait, par un beau théorème de M. Chasles, da ^"^ ^

^ ^ le plan P qui contient les trois points. Je dirai que le point

. ^ le plan P sont associés; si le point/? parcourt une droite, le

*^ P tourne autour d'une autre droite qui est associée à la

ière. Je représenterai une forme cubique par le point as-

au plan qui contient les trois points de K qui la déter-

sit.

oe forme cubique représentée par un point p est déterminée

p les trois points de contact a, 6, c des plans osculateurs que

^^ peut mener de ce point à la courbe. Si l'on prend les conju-

j ^ harmoniques de chacun des points a, 6, c par rapport aux

j^ ^^^^C autres, on obtient un autre système de trois points qui

'^mine le covariant cubique de la forme ; les plans osculateurs

^s points se coupent en un point/?' représentatif du covariant.

, ""^""^^la posé, les deux points/? et/?' sont situés sur une même

ite de la cubique et partagent harmoniquement le segment

cep té par la courbe sur cette sécante. Je dirai que les deux

ts se correspondent par rapport à la cubique.

eix

a8o OBOMÉTRIE.

Le faisceau de la forme représenlé parle point ^ est représenlé par la sécante qui passe par ce point. J'ajouterai la remarque suivante :

(( Le plan polaire d'un point donné relativement à la surface développable S, dont K est l'arête de rebroussement, est le plan associé au point correspondant. »

Etant données deux formes cubiques représentées par les points p et q, les dilTérentes formes contenues dans le faisceau qu'elles déterminent sont représentées parles différents points de la droite pq. Une droite dans l'espace représentera donc un faisceau de formes cubiques.

Si une droite rencontre une génératrice de S, leur point de rencontre représente une forme cubique ayant un facteur carré. D'où cette conséquence :

« Une droite (représentant un faisceau) rencontre quatre génératrices de S; les quatre points où ces droites touchent K représentent le Jacobien du réseau. »

Étant donnée une forme biquadratique F représentée par quatre points de K, menons les tangentes en ces points. Ces quatre droites n'étant jamais sur une même quadrique, il n'y a que deux droites D et D' qui les rencontrent toutes.

Donc F est le Jacobien des deux faisceaux de formes cubiques, lesquels sont représentés par les droites D et D'.

Ces deux droites sont associées par rapport à la cubique. Je représenterai la forme F par ces deux droites ou simplement par l'une d'entre elles, puisque par là même l'autre sera déterminée.