RECHERCHES ANALYTIQUES
SUR LA
SURFACE RÉaPROQUE DE U SURFACE DE STEINER.
Nouvelles Annales de Mathématiques; 187a et 1873.
I. — Détermination des lignes asympto tiques de la surface (*).
1. La théorie de cette surface se rattache intimement, comme je me propose de le faire voir dans cette Note, à la théorie des formes bi quadratiques simultanées.
Soient a, 6, c^dele cinq fonctions linéaires des coordonnées cartésiennes Xy y et z; nous pouvons considérer les valeurs que prennent ces fonctions en un point de l'espace comme les coordonnées (pentaédriques) de ce point; il est clair d'ailleurs qu'entre ces coordonnées d'un point existe une relation linéaire, satisfaite identiquement, et que je mettrai sous la forme
(i) ae — 4^o-h6cy — ^d^->[- eci = o^
a, p, y, 8 et e désignant les constantes numériques que je rattacherai au polynôme du quatrième degré
en posant
u = a^^-4-46f»-h6c<»-f- idt-he,
(*) Les lignes asymptotiques de la surface de Steiner (qui sont réciproques des lignes que nous étudions ici) ont été trouvées pour la première fois par M. Clebsch {Journal de Borchardt, t. LXVIII, p. 1).
Sar la relation qui a lieu entre les lignes asymptotiques d'une surface et celles de la réciproque, voir une Note de M. Mannheim {Bulletin des Sciences mathématiques, t. I, p. 198).
a8a GéoM^TRiB.
on voit que la relation précédente exprime que l'invariant quadratique simultané des formes i/ et co est égal à zéro.
2. L'équation u = o (*), si Ton y considère t comme un paramètre variable, représente un plan mobile qui enveloppe une surface du sixième ordre, dont Téquation est
(2) i*—iyj*=o,
si l'on représente respectivement par i eij l'invariant quadratique et l'invariant cubique de la forme </. Les équations de son arête de rebroussement sont
1 = 0 et y = o.
La surface que je me propose d'étudier est la surface du troisième ordre DC, dont l'équation est
abc b c d c d e
Si l'on désigne par S la surface du second ordre (ou qiiadrique) représentée par l'équation
i =: ae — 4 ^d -+- 3 c' = o,
on voit, en considérant l'équation (2), que la surface développable dont j'ai parlé plus haut touche OC tout le long de l'intersection de cette surface avec S, c'est-à-dire tout le long de son arête de rebroussement.
D'où la conséquence suivante :
La cubique DC est coupée par la quadrique S suivant une de ses lignes asympto tiques,
3. Il est facile de voir qu'en réalité les considérations précédentes nous conduisent à la détermination complète des lignes asymptotiques de OC.
(') Voir Cayley : On a certain sextic développable {Quarierly Journal, t. IX ) ; Note sur quelques tores sextiques ( Annali di Matematica, a« série, t. II).
SUR LA SURFACE RéCIPROQUE DB LA SURFACE DE STEINER. 283
Considérons le système linéaire numérique
dont, pour plus de simplicité, je supposerai le déterminant égal à Tuniié, et le système composé suivant
abc P q q q' ^ X b c d X p* q' r r* r^ c d e p" q"
Si Ton choisit les nombres Pi q^ r^ ... de telle sorte que Ton ait cT = d y il est clair que l'on aura
et Véquation de DC s'obtiendra en égalant à zéro l'une ou l'autre de ces deux expressions; mais l'on n'aura pas en général
c'est-à-dire
a'e'— 46'cr-4-3c'»=atf — 46rf-+-3c*,
L'équation i=o représentera donc une nouvelle quadrique coupant DC suivant une de ses lignes asymptotiques, et la question qui s'offre à nous est la suivante :
Les nombres />,?,/*, ... étant choisis de telle sorte que la relation <?=& soit satisfaite, trouver les différentes valeurs que peut prendre l'expression
4. J'emploierai dans la suite de ce Chapitre les notations dont je me suis servi dans mon Mémoire sur le calcul des systèmes linéaires (*); une grande lettre représentera un système linéaire,
(•) Journal de V École Polytechnique, t. XXV.
Pour écUircir ces notations par quelques exemples, soit
a* Jj" y'
38^1 QROXiTRIE.
la même lettre aflectée de Tlndice zéro ou de rindice i le système réciproque ou le système inverse, et la caractéristique A la valear du déterminant du système linéaire qu^elle précède.
Cela posé, en calculant les quantités c' et d^ on trouve que, pour qu'elles soient égales, on doit avoir la relation
H) ) ^^^ "^ ^pr'-^ ^P')^ -+- U^i^-^ rp'-^ r'p')c H- {p'r^-h r^p')d'^p'r^e
cette relation doit être identique et elle ne peut différer que dans la forme de la relation (i). On en déduit, p désignant une certaine quantité numérique, la série d'égalités
p /?/• — 7* __ pr' ->r rp' — iqq' __ pr^ H- rp' -^ p' r' — 2 qq' — y** p'r^-^r'p'^'iq'q" __ p' r^ — y '«
— IS a
Si Ton pose
1=0 — 20, yi= — 28 4y — ^P ^' H=/>' q* r\ 100 Y — 1^ a P' ^ ^
on déduit facilement des égalités précédentes l'équation
(4) HIH, = pyl4-0I,
9 désignant une autre quantité numérique dont il est inutile d'écrire la valeur.
Réciproquement, si le système II est choisi de telle manière que le produit HIH, soit de la forme p/1 +01, p et 0 désignant des constantes (systèmes simples), les relations (3) sont satis-
et a la valeur du déterminant de ce sy>témc linéaire; on aura
da da da
a a' a- di 'dû' d^
A.= p r r et A.= g ^ |L;
^ ^ ^ da da da
d-x dy' df d'oiiy par suite,
AoA=:a = A(A).
SUR Uk SURFACE RÉCIPROQUE DE LA SURFACE DE 8TEINER. a85
faîtes; et si nous faisons
abc A = 6 c d ^ c d e et posons
