SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS

SURFACES ANALLAGMATIQUES.

fiiillethi de la Société pkUomalkique ; 186B.

1, M. MoTilard a le premier étudié d'une façon complète les surfaces anallagmatiqiies, c'est-à-dire les surfaces du quatrième ordre qui ont poiir ligne double l'ombilicale ('). Il a montré que ces surfaces pouvaient être définies géométriquement, comme l'enveloppe des sphères dont les centres parcourent une surface du second degré A et qui coupent oriliogonalement une sphère fixe S. Cette sphère peut être désignée sous le nom de sphère directrice de la surface; son centre est évidemment un pôle principal de l'anallagmatique engendrée. Au point de vue géométrique, il est avantageux de modifier un peu la définition précédente et de la présenter ainsi : A la surfacedu second degré donnée A, on mène un pian tangent quelconque qui coupe la sphère directrice S suivant un cercle; par ce cercle, on peut faire passer deux cônes isotropes, dont les sommets sont évidemment deux points réciproques par rapport à la sphère directrice. Ces deux points, lorsque le plan tangent prend toutes les positions possibles sur la surface A, engendrent la surface anallagmalique, enveloppe des sphères ayant leur centre sur la surface A et coupant orthogonalement la sphère directrice.

2. M. Moulard a montré que la surface ainsi définie pouvait êlre engendrée de cinq manières différentes au moven de cinq sur-

(•) Voir le Bulletin de la Société pkilomathique, t. IV. Séance du 6 avril 1S67.

faces du second ordre A, A,, Aj, A3 et A,, et de cinq sphères directrices correspondant à ces surfaces; cjue, par suite, la surface anal lagraa tique possédait cinq pflles principaux de transfor-

Je me propose dans cette Note d'exposer de qneile façon sont reliées entre elles les surfaces du second ordre qui peuvent servir à la génération d'une anallagmatiqtie donnée el comment elles se rattachent g^éomctrlquemenl aux focales de celte anallagmatlque.

Les focales d'une surface sont, comme on le sait, les lignes doubles de la ddveloppahie isotrope qui lui est circonscrite. M, Cliasies a le premier donné cette notion de focale dans son Aperçu historique, etc., et montré d'une façon précise ce qui était le point délicat de la question, la notion qui dans l'espace correspondait à la notion du foyer dans le plan. Il a développé du reste depuis les idées qu'il avait alors émises, et je renverrai notamment sur ce sujet à une Note Sur les surfaces du second ordre homo focales, insérée aux Comptes rendus de l'Académie des Sciences (11 juin 1860), Note à laquelle, du reste, j'aurai, dans ce qui suit, plusieurs fois occasion de me rapporter.

Une surface anallagmatiqnc étant définie par une surface du second degré A et une sphère directrice S, appelons C l'anallagmatique sphériqoe qui résulte de leur intersection; la même surface peut être définie par quatre autres surfaces du second degré A, , Aa, A3, A, et quatre sphères directrices correspondantes S,, Sj, Sa, S4. Soient C, , C^, C3, C, les intersections respectives de ces surfaces, on voit immédiatement que les anallagmatiques sphériques C), Ck, C3, C^ sont les focales de ta surface anallagmatique donnée.

Ces cinq focales ne sont pas indépendantes entre elles. Car, étant pris l'une d'elles, C, par exemple, si on lui circonscrit une surface développable isotrope, cette surface développable, outre la courbe primitive C, renfermera d'autres lignes doubles qui seront évidemment aussi des focales de la surface proposée.

Or, ces autres lignes doubles seront précisément les quatre anallagmatiques C,, Gj, C3, G,,

De là résuite-immédiatement le théorème suivant, qui mérite peut-être, par sa simplicité, d'être explicitement énoncé. Soient une courbe M résultant de l'intersection de deux surfaces du

SUR QITELÛUES PEOPKIÉTÉS DES HURFACBS ANALLAOMATIQUES. j3

second ordre P ei Q, cl une section plane quelconque R de ia surface P, la surface développable circODscrite à ia fois aux courbes M el R admet, comme lignes doubles, outre la courbe M, quatre autres courbes du quatrième ordre, el chacune de ces courbes est située sur une surface du second ordre passant par la conique R.

3. L'arête de rebroussement de ia développable isotrope circonscrite à une surface du second deg'ré jouit d'une propriété curieuse signalée par M. Moutard dans les Nouvelles Annales; elle consiste en ce que la projection de cette arête sur chacun des plans principaux de la surface est la développée de la focale contenue dans ce pian. Il existe une propriété analogue relativement aux surfaces analiagmaliques. Considérons une sphère directrice quelconque A et soient O son centre et E l'arête de rebroussement de la développable isotrope circonscrite, le cône ayant pour sommet le point O et pour base la courbe E coupera la sphère correspondante A suivant le lieu des centres de courbures sphériques de la focale située sur cette sphère.

■4. Lorsqu'une surface, telle que la surface anailagmatique considérécj contient V ombilicale, la développable isotrope qui lui est circonscrite se décompose en deux surfaces distinctes. L'une est l'enveloppe des plans, pour lesquels le point de contact avec la surface n'est pas sur Vombilicale même ; les lignes doubles de cette surface sont les focales ordinaires, et dans le cas actuel elles se composent des cinq analiagmaliques sphériques dont j'ai parlé ci-dessus.

L'autre est l'enveloppe des plans qui touchent la surface le long de l'ombilicale [et ses lignes doubles sont les focales singulières. Dans le cas actuel, ces focales singulières se composent de trois coniques qui sont les focales ordinaires communes aux cinq surfaces A|, Aa, Aj, Aj, Aj qui peuvent servir à la génération de l'anallagmatlque.

Les focales singulières, tout en jouissant des propriétés générales des focales, s'en séparent cependant en certains points; ainsi, tandis que les focales ordinaires se transforment, par la méthode des rayons vecteurs réciproques, en focales ordinaires de la transformée, il n'en est pas de même des focales singulières. Les sur-

^4 siOHÉTBIE,

faces du système triple orthogonal, découvert par M. Moutard et formé de surfaces anallagm a tiques, ont les mêmes focales ordinaires, mais leurs focales singulières varient pour chaque surface.

5. CoDsidérons une surface anallagmatique définie, comme il a été dit au n" 1, an moyen d'une surface du second degré A et d'une splière directrice S.

La développable circonscrite à ces deux surfaces a quatre lignes doubles qui sont des coniques. Soient K,, K^, K3 et K, ces quatre coniques. D'après un théorème dû à M. Chasles (loc. cil.), par chacune de ces coniques on peut faire passer une surface homofocale à A, Les quatre sur/aces du second degré ainsi déterminées seront précisément les surfaces K^, K^, A3, k.i, au moyen desquelles, d'après le théorème de M. Moutard, on peut engendrer la sur/ace.

Etant prise une de ces surfaces, par exemple la surface A), qui passe par la coniqiie K), il sera facile de déterminer la sphère directrice correspondante. En effet, que l'on mène le plan de la conique K,, il coupera la surface A suivant une conique. Si l'on circonscrit à cette dernière conique et à la surface Ai une surface développahie, cette surface, d'après un théorème de M. Chasles {loe. cit.), sera circonscriptible à une sphère, et cette sphère sera précisément la sphère directrice correspondant à la sur/ace A.

6. Divers théorèmes relatifs, soit aux surfaces du second ordre homofocales, soit aux surfaces anallagmatiques, découlent des considérations précédentes. Je me bornerai à énoncer les deux

Théorème I. — Étant données deux surfaces homofocales du second ordre et un plan fixe H, par une droite D tracée dans ce plan, menons les plans tangents aux deux surfaces. Enjoignant les points de contact appartenant à des surfaces différentes, nous obtiendrons quatre droites. Toutes les droites ainsi obtenues, lorsque D se déplace dans le plan H, .sont normales à une même surface anallagmatique.

Soient S, T les coniques suivant lesquelles le plan H coupe les deux surfaces homofocales données; construisons une conique

aun QUELQDES PROPRIÉTÉS DES SOBPAdES ANALLAGU.iTIQUES. 4^

quelconque passant par les quatre points d'intersection de S et de T ; si la droite D se meut Ungealiellement à celte conique, les droites obtenues par la construction précédente formeront une surface dcveloppable, et par conséquent traceront sur l'anallagmatique une de ses lignes de courbure.

ÏHÉoïiÈME II. — Etant données deux surfaces homofocales A et B et une droite D, menons par cette droite les plans tangents aux deud surfaces, et soient b et b' les points de contact relatifs à la surface B, à l'un des points de contact relatifs à la surface A; les droites ab et ah' sont dans un même plan avec la normale au point a et également inclinées sur cette normale.

7. Les considérations que j'ai exposées dans cette Note au sujet des surfaces anallagmatiques s'appliquent évidemment aux courbes planes anallagmatiques. Je me dispenserai donc d'énoncer les propositions relatives à ces courbes.