CASSIINIENNES PLANES ET SPHÉRIQUES

Buileiin de la Société philomathique : i86fi.

1. Od peul considérer une anallagmatique sphérique comme le lieu des points de contact des plans tangents à une conique fixe K. et à «ne sphère. Soit S le cercle suivant lequelle pian delà conique coupe la sphère; si l'on peul inscrire dans le cercle Sun quadrilatère circonscrit à la conique K (et alors, d'après le théorème de Poncelet, on pourra le faire d'une infinité de façons) en désignant par a, ^, v, S les sommets consécutifs d'un tel quadrilatère, les divers points m de l'anallagmalique satisferont à une relation de la forme

J'ai signalé celte propriété dans une Note insérée au Bulletin de la Société philomathique (msiVi 1867).

Les courbes qui jouissent de cette propriété constituent dans l'ensemble des anallagmatîques un groupe remarquable et jouissant de propriétés spéciales digaes d'intérêt. Je les désignerai sous le nom de cassiniennes, par analogie avec l'ellipse de Cassiui qui peul être regardée comme leur type principal.

2. Je vais donner ici une autre définition de ces courbes, qui, quoique moins simple peut-être en apparence que la précédente, se prête bien mieux aux recherches géométriques.

Soit, en général, tracée sur une sphère une anallagmatique: par cette courbe passent quatre cônes dont les sommets forment un tétraèdre conjugué par rapport à la sphère. Prenons une quel-

conque des arêtes de ce tétraèdre et l'arête opposée qui est sa polaire par rapport à la sphère. Il sera facile d'établir les propositions suivantes. Toute droite qui passe |jar un point « de l'anallagmatique et qui s'appuie sur les deux arêtes du tétraèdre considérées, coupe la sphère en un second point b qui appartient aussi à l'anallagmatique. Je dirai que les deux points a ei b sont conjugués, et, pour simplifier le langage, j'appellerai sîmplemeotco^rfe . la droite qui joint deux points conjugués. Si l'on désigne par P et Q les points où l'une des arêtes considérées coupe la sphère, il résulte de ce qui précède que deux points conjugués quelconques et les points P et Q sont toujours situés sur un niênie cercle et partagent ce cercle harnioiiiquement. Par suite, si l'on appelle I le point milieu du segment PQ, il en résulte que le produit des distances du point I à deux points conjugués quelconques est constant et que les droites qui joignent ce point milieu aux deux points conjugués sont dans le même plan que la droite PQ et également inclinées sur cette droite (').

3. Comme dans un tétraèdre il existe trois couples d'arêtes opposées, on voit que, pour une analiagmatique donnée, on peut imaginer trois modes de groupement des points.

Or, si la courhe est une cassinienne, on pourra choisir les deux arêtes du tétraèdre de telle sorte que les points conjugués fournis par le mode de groupement correspondant jouissent de la propriété suivante :

Si l'on prend le conjugué harmonique d' un point quelconque. de la sphère P par rapport à chaque couple de points conjugués ( ' ), c'est-à-dire si, sur le cercle passant par le point P ei. chaque couple de points conjugués, onprend le conjugué harmonique de ce point, le lieu des points ainsi obtenus est un cercle.

Pour abréger, je désignerai simplement ce cercle sous le nom de cercle correspondant au point P.

(') Le point I esL donc pour l'anallagmatique un des points que M. MouUvd a désignés soua le nom de pèles secondaires de ti-ansformation. (') Voir Bulletin de la Société philomathique, février 1867.

La propriété précédente i définition à la cassinienne.

Considérons une sphère et deux droites quelconques dont chacune soit la polaire réciproque de l'autre par rapport à la sphère. Sur celte sphère on peut tracer une infinité de courbes jouissant de la propriété énoncée au n° 2, que toute droite passant par un point de la courbe et s'appuyant sur les deux droites fixes dont je viens de parler rencontre la sphère en un second point de la courbe. Je désignerai les deux points de la courbe situés sur une telle droite sous le nom an points conjugués. Maintenant, considérons le lieu des points qui sont conjug'ués harmoniques d'un point R de la sphère, par rapport aux. différents couples de points, conjugués d'une courbe quelconque de l'espèce dont je viens de parier. Si ce lieu est un cercle pour une position particulière quelconque du point P, il en sera de même quelle que soit la position de ce point sur la sphère et la courbe considérée sera une cassinienne.

Dans tout ce qui suit, je considérerai exclusivement le mode de groupement qui donne lieu à la proposition énoncée ci-dessus; en sorte que le point conjugué d'un point de la courbe sera parfaitement déterminé. Des deux arêtes du tétraèdre considérées, il j en a toujours une qui coupe la sphère en deux points réels; je désignerai ces deux points par les lettres P et Q.

Ceci posé, on établira facilement les propositions suivantes :

■i. Si l'on considère une corde quelconque d'une cassinienne, c' est-à-dire la droite qui joint deux points conjugués, sa polaire réciproque par l'apport à la sphère, sur laquelle est tracée la cassinienne, rencontrera cette sphère en deux points conjugués de la courbe et sera par conséquent aussi une corde.

De là résulte que la si;

irface engendré

e par toutes les cordes

surface qui esl du qiialri

ème degré, est

à elle-même sa polair

réciproque.

S. La propriété précédente constitue une propriété caractéristique des cassinîennes et l'on peut énoncer la propriété suivante :

Si une anallagmatique est telle qu'une droite passant par deux points de celte courbe ait pour polaire, par rapport à la

Sun LES c.ïssiNrrNNEs planes r.i sphkriquiîs. 4ç)

sphère sur laquelle elle est tracée, une droite rencontrant la courbe en deux points, cette anallaginatiqiie est une cassi~ nienne dont la droite proposée ainsi que sa polaire sont des cordes; et alors, d'après le théorème précédent, il y a une infinité de droites qui jouissent de la même propriété.

6. Si A désigne le cercle correspondant à un point R de la sphère, les cercles correspondant aux divers points du cercle A. passeront par le point R.

7. Le cercle correspondant à un point de la courbe lui est tangent en ce point et coupe la courbe en deux autres points qui sont conjugués.

H. Considérons une corde quelconque d'nne cassiniennc; par cette corde on peut mener quatre pians tangents à Ja courbe. Deux des points de contact se trouveront sur la polaire de la corde, les deux autres seront deux points conjugués. Si, par la corde qui joint ces deux derniers points, on mène des plans tangents à la courbe, deux dos points de contact seront les points conjugués formant les extrémités de la première corde considérée.

Deux cordes liées ensemble de la façon que je viens d'indiquer seront dites cordes associées.

Leur propriété principale est renfermée dans la proposition suivante :

Toute droite qui touche la sphère sur laquelle est tracée une cassinienne en un point de cette courbe et rencontre une de ses cordes, rencontre aussi la corde qui lui est associée.

9, Cette propriété donne lieu au théorème suivant : Si une droite se déplace en s' appuyant sur deux droites fixes et en restant tangente à une sphère, la courbe suivant laquelle la surface ainsi engendrée touche la sphère est une cassinienne dont les deux droites fixes sont deux cordes; et, d'après la proposition précédente, la cassinienne ainsi obtenue peut être engendrée d'une infinité de façons au moyen de deux cordes associées quelconques de la courbe.

10. Une cassinienne est complètement définie lorsqu'on connaît

les deux points P et Q, qui sont conjugués harmoniques par rapport à tons les couples de points conjugues, et le cercle A correspondant à un point R de la sphère.

Soient M un point quelconque de la sphère et N son réciproque par rapport au cercle A, je veux dire le point où la spKôre est percée par la droite qui joint le point M au pôle du plan du cercle. Il est facile de déterminer sur la sphère deux points a et y, qui soient en rapport anharmonique avec les points M et R, ainsi qu'avec les points P et Q. On peut, si l'on veut, considérer les droites PQ et MR ainsi que leurs polaires; il y aura deux droites qui les rencontreront toutes les quatre, et ces droites seront ellesmêmes polaires réciproques. Par suite, il y en aura une et une seule qui coupera la sphère en des points réels; ces deux points seront les deux points et et y cherchés. On déterminerait de même deux points ^ et S qui soient conjugués harmoniques par rapport aux couples de points N, R et P, Q.

Cela posé, un point quelconque m de la cassinienne considérée satisfera à la relation suivante :

On voit que les points œety sont deux points conjugués de la sphère, en prenant ce mot dans le sens où je l'ai employé au n" 3, c'est-à-dire que la droite ay rencontre la droite fixe PQ ainsi que sa polaire; il en est de même des points {i et S, De plus il est évident que l'un des quatre points peut être pris arhiirairemenl. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Étant donnée une cassinienne et étant pris arbitrairement sur la sphère sur laquelle elle est tracée un couple quelconque de points conjugués, il est toujours possible de trouver un autre couple de points conjugués, de telle sorte que le produit des distances d'un point de la courbe aux points du premier couple soit dans un rapport constant avec le produit des distances du même point aux points du second couple.

H. En particulier, ily existe toujours sur une sphère un couple de points conjugués qui sont diamétralement opposés. Pour les obtenir il suffit de mener par le centre de la sphère une droite

s'appnyanl sur la droile PQ cl sur sa polaire. Désignons par a et a! ce couple de poinls; on pourra délerminer d'après le théorème précédent deux autres points c et rf, tels que pour tout point de la courbe l'on ait la relation

et, comme sinjma'^ cos^wia, la relation précédente pourra s'écrire delà façon suivante :

D'où la proposilion suivante :

Étant donnée une cassinienne, on peut toujours déterminer un diamètre de la sphère sur laquelle elle est tracée et deux points fixes de cette sphère, de telle sorte qi/e le produit des distances d'un point quelconque de la courbe aux deux points fixes divisé par la distance de ce même point au diamètre donne un quotient constant.

12. Si par une corde d'une cassinienne fixe et deux points conjugués quelconques, on mène des plans, ces divers plans forment un faisceau en involution, et les deux plans doubles de l'ini>olulion coupent la sphère suivant deux cercles orthogonaux .

13. Soient A, B e( C, D deux couples quelconques de points conjugués d'une cassinienne; et soient a, b, c, d les points de la sphère qui leur sont diamétralement opposés; m désignant un point quelconque de la courbe, la différence des aires des triangles sphériques mac et mbd est constante.

li. Lescassiniennes se changent en cassiniennes par une transformation quelconque par rayons vecteurs réciproques. Aux

couples de points conjugués de la première courbe correspondenl des couples de points conjugués de la transformation.

En particulier, au moyen d'une projection stéréographique, les cassiniennes spliériqiies se transforment en cassiniennes planes. Je me bornerai, au sujet de ces courbes, à énoncer quelques propriylés que ne partagent pas les cassiniennes sphériqnes.

Si l'on désigne par a,b et c,d deux couples quelconques de points conjugués, la différence des angles sous lesquels ces segments ac et bd sont vus d'un point quelconque de la courbe est constante.

\Xi. Dans le cas où la cassinienne est du troisième degré, la différence de ces angles est nulle.

On peut donc dire que la cassinienne cubique est le lieu d'oii deux segments de droite sont vus sous des angles égaux.

L'on en déduit que, si l'on joint un point fixe de la courbe à tous les couples de points conjugués, toutes les droites ainsi obtenues sont également inclinées sur deux droites fixes rectangulaires.

16- Le lieu des points milieux des droites qui joignent les points conjugués d'une cassinienne plane est un cercle. Lorsque la cassinienne est du troisième degré, ce cercle se réduit à une droite.

Par chaque point de ce cercle (ou de cette droite) passent deux cordes df: la cassinienne se coupant orihogonalement.

L'enveloppe des cordes d'une cassinienne plane est une courbe de quatrième classe ajant pour foyers les deux foyers singuliers de la courbe et les deux points fixes du plan qui sont en rapport harmonique avec chaque couple de points conjugués.

Lorsque la cassinienne est du troisième degré, elle n'a plus qu'un foyer singulier et l'enveloppe des cordes est alors une courbe de troisième classe.

Le lieu des sommets des angles droits circonscrits à cette dernière courbe se compose de la cassinienne elle-même et de la droite, lieu des points milieux des droites qui joignent les points conjugués.

ÏBS ET SPHÉRIQUES. 53

17. Les casstniennes cubiques planes ont élé depuis Kuigtemps éludiées sous le nom de focales. On peut consuller à ce sujet divers travaux de MM. Quetelet, Dandelin et Chasles dans les Mémoires de l'Académie de Bruxelles et la Correspondance mathématique de Quetelet.

Le Tome V de cette dernière collection renferme à ce sujei. un très intéressant Mémoire de M, Van Rees, qui j a donné les propriétés énoncées dans le n° 15 et en a dôduit les principales conséquences.