LA GÉOMÉTRIE AU CALCUL INTÉGRAL

Bulletin de la Société philomalhiquf

§ L — En étudiant les beaux théorèmes découverls par M. Poncelet sur les polygones simultanément inscrits et circonscrils à des coniques, Jacobi a montré, le premier, le lien intime qui unit cette théorie à celle des fonctions elliptiqiieset fait voir comment, en employant un système de cercles ayant même axe radical, on pouvait efTectuer géométriquement l'addition et la multiplication des fonctions elliptiques. En terminant son Mémoire, Jacobi avait fait remarquer que la considération plus générale d'un système de coniques devait conduire à des résultats analogues à ceux qu'il avait rencontrés; je ne pense pas qu'il ail depuis développé cette indication et poussé plus loin cette recherche qui lui paraissait digne d'intérêt.

M. ChasieSj dans un Mémoire publié dans les Comptes rendus en i844) a repris cette idée en suivant une voie moins directe que celle de Jacohi et donné une représentation géométrique très élégante de l'addition des fonctions elliptiques au moyen d'un système de coniques homofocales.

Le but de cette Note est de résoudre d'une façon complète et générale la question posée par Jacobi.

§ II. — Pour abréger, je désignerai, dans ce qui suit, par puissance d'un point relativement à une courbe la valeur que prend le premier membre de l'équation de cette courbe f{x,y)=:o, lorsque l'on substitue aux variables les valeurs des coordonnées de

ce point. La puissance d'un point est une fonction qui ne dépend évidemment que de la forme de la coiirbe etde la position relative du poini; la définition précédente ne la définit qu'à un facteur constant près.

§ m. — Considérons, dans un même plan, deux coniques fixes A et B. Menons à la conique A une tangente quelconque T, et soient m et [a les deux points où cette tangente coupe la conique B, Si la droite T se déplace en restant tangente à A, pour un déplacement infiniment petit, elle tournera autour de son point de contact (; soient m' et u.' les points où, dans sa nouvelle position, elle coupe la conique B. Appelons V fe point de rencontre des droites mm' et [A[a', la théorie des transversales fournit immédiatement la relation suivante où, pour abréger, j'ai écrit </.! et d'y au lieu de mm' et jajjl',

ds du mt.m\ ~ ixt.[LV'

D'après un théorème connu, les tangentes mV el [jiV sont proportionnelles aux racines cubiques des rayons de courbure r et p de la courbe aux points m et jjl; d'après le théorème de Newton sur les Ira nsvei- sales, les segments mC et jilï sont proportionnels aux racines carrées des puissances des points m et [jl relativement à la conique A; en désignant ces puissances par •Tï(nî) et m([J-), on peut donc écrire la relation suivante,

§ IV. — Dans cette équation différentielle, les variables sont séparées; si nous exprimons que la droite m^K est tangente à A, nous aurons une intégrale particulière de celte équation". Mais, lorsque l'on a un faisceau de coniques ajant qiiatre points communs, le rapport des puissances de deux points quelconques situés sur l'une de ces courbes par rapport à une autre courbe quelconque du faisceau est constant, quelle que soit cette dernière courbe. Donc on peut, au lieu de la conique A, considérer une quelconque des coniques qui passent par les quatre points d'intersection de A et de B; et si l'on exprime que la droite mu-

est tangente à celte coûiqiie, on obtiendra l'intégrale générale de l'équation (i).

§ V. — Celle intégrale générale peut être représentée par un faisceau de coniques ayant quatre points communs; ou, si l'on préfère se représenter îe déplacement de la droite my. par celui de son pôle, par un faisceau de coniques inscrites dans un même quadrilatère. Les deux cas particuliers les plus remarquables sont fournis, d'un côté, par un système de cercles ayant même axe radical et, de l'autre, par un système de coniques homofocales. Dans le cas où la conique B est nue ellipse, on peut simplifier l'équation (i); soient, en effet,

l'équation de cette ellipse rapportée à ses axes et/(3:',y) = o l'équation de la conique A rapportée à ces mêmes axes.

En posant x ^ a cos)> %\ y :^^h sin^, et en désignant par L et X les valeurs de l'amplitude aux points m et jjl, la relation (i) deviendra

§ VI. — Examinons en particulier le cas où la conique B se réduit à un cercle. En désignant par a, h, c, d les points d'intersection de ce cercle avec la conique A, l'on a

Tr(m) ina.mb .m.c.md et l'équation différentielle (i) devient

'i/môTïnbTmcTmd \/}xa.\ib.\i.c.\i.d

La forme qui résulte de cette équation, pour la différentielle de l'intégrale elliptique de première espèce la plus générale, est celle qui se prèle le mieux aux considérations de la Géométrie pure. Je reviendrai dii reste plus tard sur ce point en traitant de la théorie géométrique de la transformation des intégrales elliptiques.

38 OÉOMÉTRIE.

§ VII. — L'équalion (a) peol se mettre immédiatement sons la forme de l'équation différenlielle d'Enler; Hxons la position de chaque point du cercle par sa distance à un point fixe arbitraire et soient L, X, A, B, G, D les \aleurs des angles correspondant aux points m, y., a, i, c, d; la relation (a) pourra s'écrire ainsi :

dl

v'sin|(L — A)ain^(L - B ) sinf (L — C) si(i|(L — D)

\/sin-^(î, — A)sLni(î, — B)sini(X — G)szn|(ï,.— D) ou Lien en posant lang?,Z ^= a:, tang^-)» = S,

\/(3^ — taoglA) (a: — tang^B) (a^ — tang^G) (a; — taiigiD)

\/(ï- tangiA) (ï - langiB) (ï - tang^C) (? - langiD)

§ VIII. — On peut donneràl'équation différentielle d'Eulerune autre interprétation géométrique et qui mérite d'être signalée ( ' ). On sait qu'une anallagmatique plane peut être considérée eomme l'enveloppe d'une série de cercles orthogonaux à un cercle fixe B et dont les centres décrivent une conique A. Je modifierai légêreremenl cette définition et présenterai de la façon suivante le mode de description de la courbe : soit menée à A une tangente réelle extérieure au cercle et la coupant par suite en deux points imaginaires conjugués m et ^, Si l'on mène les quatre droites isotropes (2) passant par ces points, ces droites se rencontreront en deux autres points réels M et M; le lieu de ces points sera l'anallagmatique définie ci-dessus.

Il est évident que les points M et M sont réciproques par rapport au cercle fixe B.

Pour fixer la position d'un point quelconque du plan, je prendrai pour coordonnées les segments interceptés sur un axe fixe entre les intersections de cet axe avec les droites isotropes issues du point donné et un point fixe de cet axe que je prendrai pour origine des coordonnées.

ère fois par M. Darbouï {Aitnates de

Dans ce système, en désigoant par x, y et x', y les coordonnées respectives de deux pointSj par t/ leur distance et 9 l'angle que fait avec l'axe fixe la droite qui les joint, on a évidemment

x — x' = ds-^^ et y ~ y = de-"',

formules où, suivant l'usage habituel, i désigne le sjmbole \/ — i , Soient mainlenanl z ety les coordonnées du point M de l'anallagmalique définie ci-dessus, l'origine des coordonnées étant placée, pour plus de simplicité, au centre du cercle B; a, §, y, S les abscisses des points de rencontre de ce cercle avec la conique A; ces quatre points sont les foyers de l'anallagmatique. Soient a', p', y', 8' les ordonnées de ces mêmes points; leurs valeurs sont, du reste (le cercle et !a conique étant supposés réels), imaginairemenl conjuguées des valeurs des abscisses.

La relation (')

\/ ma . mb . me . ind )/\i.a.]xb.\i.c.}j.d

pourra se mettre sous la l'orme suivante, où \ désigne u réel constant, ne dépendant que de la position des foyers cercle,

et, d'après ce qui a été dit plus haut, l'intégrale générale de cette équation sera fournie par l'équation des anallagmatiques, ayant pourfoyers les quatre points dont les coordonnées sont a, a!; |3, p';

§ IX, — On aurait pu, en partant d'une propriété géométrique très simple des anallagmatiques, écrire immédiatement l'équation différentielle précédente. Mais la marche que j'ai suivie, quoique plus longue, a l'avantage de faire voir d'une façon nette comment les propriétés des anallagmatiques relatives aux intégrales elliptiques se rattachent à la théorie de Jacobi. Ces courbes se présentent nécessairement quand on veut étudier la marche de l'inté-

grale pour des valeurs imaginaires de la variable. Tout le temps que la droite tangente à la conique coupe le cercle en deux points réels, la marche simultanée de ces deux points représente d'une manière précise la marche de l'intégrale. Dès qu'elle devient extérieure au cercle, au lieu des points imaginaires m et u oii elle coupe ce cercle, il faut considérer les points réels de l'anallagmatique M et m qui leur correspondent.

On a d'ailleurs la relation très simple suivante entre les éléments différentiels relatifs au cercle et l'anallagmatique :

•/^'.mb.mc.md ~ /.Vl^-.Mi.MÏ'TMrf

Pour chaque poiotdu plan, outre l'anallagmatique donnant lieu à la relation précédente, il passe une anallagmalique coupant orthogonalement la première et fournissant la relation suivante:

/mn . mf> . me . md \/Ma.f<\h.'S\ c.Md

Les considérations précédentes montrent l'importance des courbes anallagma tiques du quatrième ordre dans l'étude de la représentation géométrique des intégrales elliptiques, lorsqu'on y introduilla considération des imaginaires; cette considération, du reste, me semble indispensable si l'on veut approfondir les propriétés des coniques qui se rapportent à la théorie des fonctions elliptiques, théorie dans laquelle la considération des fonctions imaginaires joue un rôle capital.